Matematika · 1. ročník SŠ › Kombinatorika › ťahák

Tip: v tlači nastav „mierka 70–80 %“ a bude z toho ťahák do peračníka.

Ťahák ti pomôže dvakrát. Keď si ho prepíšeš rukou, veľa si zapamätáš už pri písaní. Ale hlavne: vedz, že existuje, a vedz ho používať. Pri úlohe si povedz „ktorý vzorec z ťaháku sa sem hodí?“, nájdi ho, dosaď a skontroluj jednotky. Kto vie, kde čo nájde, vyrieši úlohu aj pod stresom.

📄 Ťahák — Kombinatorika

Pravidlá a faktoriál

„A potom“ = krát ( $m \cdot n \cdot p$ , PIN: $10^4$ ); „alebo“ = plus ( $m + n$ )
$n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 1$ ; $0! = 1$ ; $5! = 120$ ; $6! = 720$

Ktorý vzorec? Tri otázky

Typ	Poradie?	Opakovanie?	Počet
permutácie $P(n)$ (všetky prvky)	áno	nie	$n!$
variácie $V(k, n)$	áno	nie	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$
variácie $V'(k, n)$	áno	áno	$n^k$
kombinácie $C(k, n)$	nie	nie	$\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$

1. Vyberám všetky prvky? Áno: permutácie $P(n) = n!$
2. Záleží na poradí? Nie: kombinácie.
3. Môžu sa opakovať? Áno: $n^k$ ; nie: $k$ činiteľov od $n$ nadol.

Kombinačné čísla

$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ ; $\binom{n}{1} = n$ ; $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
$V(k, n) = C(k, n) \cdot k!$ ; $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ ; súčet riadku $n$ Pascalovho trojuholníka $= 2^n$

Anagramy (permutácie s opakovaním)

P'(n_1, \dots, n_r) = \frac{n!}{n_1!\,\dots\,n_r!}

\text{ELEKTRO: } \frac{7!}{2!} = 2520

Pozor

⚠️ Bez opakovania musí platiť $k \le n$ .
⚠️ Prvá cifra čísla nesmie byť 0: $9 \cdot 10 \cdot 10 = 900$ trojciferných čísel.
⚠️ Opakujúce sa písmená: nepočítaj $n!$ , vydeľ faktoriálmi ich počtov.
⚠️ Výmena poradia dá novú možnosť? Áno = variácie, nie = kombinácie.

Zvládnem · zvladnem.sk · 5.10.2026