Matematika · 2. ročník SŠ › Exponenciálna a logaritmická funkcia › ťahák

📄 Ťahák — Exponenciálna a logaritmická funkcia

Mocniny s racionálnym exponentom ($a \gt 0$)

• $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ · $a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$ · $a^{-r} = \frac{1}{a^r}$
• $a^r a^s = a^{r+s}$ · $a^r : a^s = a^{r-s}$ · $(a^r)^s = a^{rs}$
• Príklad: $8^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$ · priemerný rast za $n$ rokov: $k^{\frac{1}{n}}$

Exponenciálna funkcia $y = a^x$ ($a \gt 0$, $a \ne 1$)

• Rast/pokles o $p$ %: $y_n = y_0 \cdot q^n$, $q = 1 \pm \frac{p}{100}$
• Polčas: $m = m_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ · kondenzátor: $u = U_0\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right)$, $\tau = RC$ (po $\tau$ asi 63 %)

Logaritmus ($a \gt 0$, $a \ne 1$, $x, y \gt 0$)

• $\log_a 1 = 0$ · $\log_a a = 1$ · $\log$ = základ 10 · $\ln$ = základ $\mathrm{e} \approx 2{,}718$
• $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ · $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ · $\log_a x^r = r \log_a x$

Logaritmická funkcia $y = \log_a x$

• $D = (0;\ \infty)$, $H = \mathbb{R}$, bod $[1;\ 0]$; inverzná k $a^x$ (súmerná podľa $y = x$)
• $L = 10 \log \frac{I}{I_0}$ dB, $I_0 = 10^{-12}\,\mathrm{W/m^2}$ · +10 dB = 10× · +3 dB ≈ 2×
• Zosilnenie $G = 10 \log \frac{P_2}{P_1}$ dB · $\mathrm{pH} = -\log c(\mathrm{H_3O^+})$

Rovnice

• $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$ · substitúcia $t = a^x \gt 0$ · $a^x = b \Rightarrow x = \frac{\log b}{\log a}$
• Logaritmická: najprv podmienky (pod logaritmom $\gt 0$), na konci skúška

Pozor

• ⚠️ $8^{\frac{2}{3}} \ne 8 \cdot \frac{2}{3}$ · $9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$, nie $-3$
• ⚠️ $\log (a + b) \ne \log a + \log b$
• ⚠️ $a^x$ je vždy kladné — $2^x = -8$ nemá riešenie
• ⚠️ Dva zdroje po 80 dB dajú asi 83 dB, nie 160 dB

Zvládnem · zvladnem.sk · 16.10.2026