Matematika · 3. ročník SŠ › Postupnosti › ťahák

Tip: v tlači nastav „mierka 70–80 %“ a bude z toho ťahák do peračníka.

Ťahák ti pomôže dvakrát. Keď si ho prepíšeš rukou, veľa si zapamätáš už pri písaní. Ale hlavne: vedz, že existuje, a vedz ho používať. Pri úlohe si povedz „ktorý vzorec z ťaháku sa sem hodí?“, nájdi ho, dosaď a skontroluj jednotky. Kto vie, kde čo nájde, vyrieši úlohu aj pod stresom.

📄 Ťahák — Postupnosti

Postupnosť

Funkcia s definičným oborom $\mathbb{N}$ ; $a_n$ = $n$ -tý člen, graf = samostatné body $[n;\ a_n]$
Vzorcom: $a_n = 3n - 1$ · rekurentne: $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = 2a_n - 1$
Rastúca: $a_{n+1} - a_n > 0$ pre každé $n$ · klesajúca: $a_{n+1} - a_n < 0$

Aritmetická a geometrická

	aritmetická	geometrická
pravidlo	$a_{n+1} = a_n + d$	$a_{n+1} = a_n \cdot q$
$n$ -tý člen	$a_n = a_1 + (n - 1)\,d$	$a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$
dva členy	$a_r = a_s + (r - s)\,d$	$a_r = a_s \cdot q^{\,r-s}$
súčet $s_n$	$\frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$	$a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ ( $q \ne 1$ ); $n a_1$ ( $q = 1$ )
rast	o rovnaký kus	o rovnaké percento

Počet členov: $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$
Rast o $p$ %: $q = 1 + \frac{p}{100}$ · pokles o $p$ %: $q = 1 - \frac{p}{100}$

Peniaze ( $q = 1 + \frac{p}{100}$ ročne, $q = 1 + \frac{p}{1\,200}$ mesačne)

	vzorec
sporenie, vklad $a$ na začiatku roka	$S_n = a \cdot q \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$
vklad na konci roka	$S_n = a \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$
zostatok úveru $D$ po $n$ splátkach	$Z_n = Dq^n - a \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$
anuitná splátka ( $Z_n = 0$ )	$a = D \cdot \frac{q^n (q - 1)}{q^n - 1}$
za koľko rokov	$q^n \ge k \Rightarrow n \ge \frac{\log k}{\log q}$ ( $q > 1$ )

Pozor

⚠️ $a_n$ : násob $(n - 1)$ , nie $n$ — a $q^{n-1}$ , ale v súčte $q^n$
⚠️ $a_{n+1} \ne a_n + 1$ : za $n$ dosaď celé $n + 1$
⚠️ Pokles o 5 % je $q = 0{,}95$ , nie $0{,}05$
⚠️ Pri $0 < q < 1$ je $\log q < 0$ — pri delení otoč nerovnosť

Zvládnem · zvladnem.sk · 16.10.2026

📄 Ťahák — Postupnosti

Postupnosť

Aritmetická a geometrická

Peniaze (q=1+p100q = 1 + \frac{p}{100}q=1+100p​ ročne, q=1+p1 200q = 1 + \frac{p}{1\,200}q=1+1200p​ mesačne)

Pozor

Peniaze ( $q = 1 + \frac{p}{100}$ ročne, $q = 1 + \frac{p}{1\,200}$ mesačne)