Matematika · 3. ročník SŠ › Vektory v rovine › ťahák

Tip: v tlači nastav „mierka 70–80 %“ a bude z toho ťahák do peračníka.

Ťahák ti pomôže dvakrát. Keď si ho prepíšeš rukou, veľa si zapamätáš už pri písaní. Ale hlavne: vedz, že existuje, a vedz ho používať. Pri úlohe si povedz „ktorý vzorec z ťaháku sa sem hodí?“, nájdi ho, dosaď a skontroluj jednotky. Kto vie, kde čo nájde, vyrieši úlohu aj pod stresom.

📄 Ťahák — Vektory v rovine

Bod a vektor

	zápis	vzorec
bod	$A[a_1;\ a_2]$	—
vektor	$\vec u = (u_1;\ u_2)$	$\vec{AB} = B - A = (b_1 - a_1;\ b_2 - a_2)$
veľkosť	$\lvert\vec u\rvert$	$\sqrt{u_1^2 + u_2^2}$
vzdialenosť	$\lvert AB\rvert$	$\sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}$
stred úsečky	$S$	$\left[\frac{a_1 + b_1}{2};\ \frac{a_2 + b_2}{2}\right]$
ťažisko	$T$	$\left[\frac{a_1 + b_1 + c_1}{3};\ \frac{a_2 + b_2 + c_2}{3}\right]$

Počítanie s vektormi

\vec u + \vec v = (u_1 + v_1;\ u_2 + v_2)

k\vec u = (ku_1;\ ku_2)

|k\vec u| = |k|\cdot|\vec u|

Opačný $-\vec u$ , nulový $\vec o = (0;\ 0)$ , $\vec{BA} = -\vec{AB}$
Kolineárne: $\vec v = k\vec u$ · rovnobežník $ABCD$ : $D = A + \vec{BC}$

Skalárny súčin a uhol

\vec u \cdot \vec v = u_1v_1 + u_2v_2 = |\vec u|\,|\vec v|\cos\varphi

\cos\varphi = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}

$\vec u \cdot \vec v$	$\gt 0$	$= 0$	$\lt 0$
uhol	ostrý (alebo $0°$ )	pravý ( $\vec u \perp \vec v$ )	tupý (alebo $180°$ )

$\varphi \in \langle 0°;\ 180°\rangle$ · $\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2$ · kolmý k $(u_1;\ u_2)$ je $(-u_2;\ u_1)$

Fyzika

Sila: $\vec F = (F\cos\alpha;\ F\sin\alpha)$ · výslednica = súčet · rovnováha $\sum \vec F = \vec o$
Rýchlosť voči brehu = voči vode + prúd · práca $W = \vec F \cdot \vec s = Fs\cos\alpha$

Pozor

⚠️ Koniec mínus začiatok: $B - A$ , nie $A - B$ .
⚠️ $|\vec u + \vec v| \ne |\vec u| + |\vec v|$ — najprv sčítaj súradnice.
⚠️ Skalárny súčin je číslo, nie vektor; pozor na znamienka.

Zvládnem · zvladnem.sk · 16.10.2026