Kirchhoffove zákony a zložené obvody

Ako vypočítať obvod, ktorý nie je ani čisto za sebou, ani čisto vedľa seba?

V nabíjačke, v ovládači auta aj v každom elektroobvode na praxi sú rezistory pospájané všelijako — niektoré za sebou, iné vedľa seba, často oboje naraz. Na každý taký obvod stačia dve pravidlá, ktoré pred 180 rokmi sformuloval Gustav Kirchhoff. S nimi vypočítaš prúd v každej vetve.

Uzol, vetva, slučka

Uzol je miesto, kde sa stretávajú aspoň tri vodiče.
Vetva je časť obvodu medzi dvoma susednými uzlami; v celej vetve tečie rovnaký prúd.
Slučka je uzavretá cesta obvodom, ktorá sa po prejdení vráti do východiskového bodu.

Zložený obvod: R₁ je za sebou so dvojicou R₂, R₃, ktoré sú navzájom vedľa seba. Uzly sú A a B. Vnútorný odpor zdroja zanedbávame.

1. Kirchhoffov zákon (pre uzol)

Náboj sa v uzle nehromadí ani nestráca. Preto: súčet prúdov, ktoré do uzla vtekajú, sa rovná súčtu prúdov, ktoré z neho vytekajú.

I_\text{dnu} = I_\text{von},

\text{napríklad v uzle A: } I = I_2 + I_3

Ak prúdom do uzla dáš znamienko +, z uzla −, platí $\sum I = 0$ . Je to zákon zachovania náboja zapísaný pre obvody.

2. Kirchhoffov zákon (pre slučku)

Keď obídeš ľubovoľnú uzavretú slučku, súčet elektromotorických napätí zdrojov sa rovná súčtu úbytkov napätia $RI$ na rezistoroch:

\sum U_\mathrm{e} = \sum R I

Znamienka: zvolíš smer obiehania. Zdroj, ktorý by hnal prúd v tomto smere, počítaš s +, opačne otočený s −. Úbytok $RI$ je kladný, ak prúd v rezistore tečie v smere obiehania. Je to zákon zachovania energie: náboj, ktorý obehne slučku, má na konci rovnakú energiu ako na začiatku.

Vypočítaj prúdy v obvode z obrázka ( $U_\mathrm{e} = 12\,\mathrm{V}$ , $R_1 = 4\,\Omega$ , $R_2 = 6\,\Omega$ , $R_3 = 12\,\Omega$ ).

$R_2$ a $R_3$ vedľa seba: $\dfrac{1}{R_{23}} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12}$ , teda $R_{23} = 4\,\Omega$
Celý obvod: $R = R_1 + R_{23} = 8\,\Omega$ , $I = \dfrac{12\,\mathrm{V}}{8\,\Omega} = 1{,}5\,\mathrm{A}$
Napätia: $U_1 = 4\cdot1{,}5 = 6\,\mathrm{V}$ , $U_{AB} = 4\cdot1{,}5 = 6\,\mathrm{V}$
Vetvy: $I_2 = \dfrac{6}{6} = 1\,\mathrm{A}$ , $I_3 = \dfrac{6}{12} = 0{,}5\,\mathrm{A}$
Kontrola 1. zákonom (uzol A): $1 + 0{,}5 = 1{,}5\,\mathrm{A}$ ✔. Kontrola 2. zákonom (slučka zdroj– $R_1$ – $R_2$ ): $12 = 4\cdot1{,}5 + 6\cdot1$ ✔

$I = 1{,}5\,\mathrm{A}$ , $I_2 = 1\,\mathrm{A}$ , $I_3 = 0{,}5\,\mathrm{A}$

Za sebou a vedľa seba — odvodenie

Pravidlá z deviateho ročníka sú len dôsledky Kirchhoffových zákonov:

Za sebou: ten istý prúd (jedna vetva), napätia sa podľa 2. zákona sčítajú: $U = R_1I + R_2I$ , takže $R = R_1 + R_2 + \dots$
Vedľa seba: rovnaké napätie, prúdy sa podľa 1. zákona sčítajú: $\dfrac{U}{R} = \dfrac{U}{R_1} + \dfrac{U}{R_2}$ , takže $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dots$

Pre dva rezistory vedľa seba je pohodlný vzorec $R = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$ ; $n$ rovnakých rezistorov $R_0$ vedľa seba má $R = \dfrac{R_0}{n}$ .

Vzorec $\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ platí len pre dva rezistory. Pre tri ho nemôžeš „rozšíriť“ ako $\dfrac{R_1R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}$ — vyjde nezmysel (aj zlé jednotky, Ω² namiesto Ω). Pri troch použi súčet prevrátených hodnôt alebo počítaj po dvojiciach. A nezabudni na konci prevrátiť: $\dfrac{1}{R} = \dfrac14$ znamená $R = 4\,\Omega$ , nie $0{,}25\,\Omega$ .

Delič napätia

Dva rezistory za sebou na napätí $U$ ho rozdelia v pomere odporov. Napätie na $R_2$ :

U_2 = U\,\frac{R_2}{R_1 + R_2}

Tak sa z 12 V získa 5 V: $R_1 = 7\,\mathrm{k\Omega}$ , $R_2 = 5\,\mathrm{k\Omega}$ dá $U_2 = 12\cdot\dfrac{5}{12} = 5\,\mathrm{V}$ . Potenciometer (napríklad regulátor hlasitosti) je delič s posuvným bežcom.

Delič platí presne len bez záťaže. Keď na $R_2$ pripojíš spotrebič, ten je s $R_2$ vedľa seba, odpor dolnej časti klesne a napätie tiež. Preto sa delič napätia nepoužíva na napájanie výkonných spotrebičov — na to sú stabilizátory a meniče.

🧪 Pokus: overenie 1. Kirchhoffovho zákona (školské laboratórium)

Pomôcky: plochá batéria 4,5 V, rezistory 100 Ω a 220 Ω, multimeter (alebo tri ampérmetre), vodiče s krokosvorkami.

Zapoj oba rezistory vedľa seba na batériu.
Zmeraj prúd pred rozvetvením a potom v každej vetve (ampérmeter vždy za sebou s vetvou).
Porovnaj: platí $I = I_1 + I_2$ ? Zmeraj aj napätie na každom rezistore.

Bezpečnosť: len batéria 4,5 V. Ampérmeter nikdy nepripájaj priamo na póly batérie — má takmer nulový odpor a urobíš skrat.

Čo uvidíš

Vetvou so 100 Ω tečie asi 45 mA, vetvou s 220 Ω asi 20 mA, pred rozvetvením asi 65 mA — súčet sedí v rámci presnosti merania. Napätie je na oboch rezistoroch rovnaké, približne napätie batérie.

Do uzla vteká prúd 0,8 A. Z uzla vytekajú dve vetvy; jednou tečie 0,3 A. Aký prúd tečie druhou?

Ukáž riešenie

$0{,}8 = 0{,}3 + I_2$ , teda $I_2 = 0{,}5\,\mathrm{A}$ .

Chyť správny výsledok — výsledný odpor, delič aj Kirchhoffove zákony:

Teraz ty — 10 príkladov na Ohmov zákon:

Zapamätaj si

1. Kirchhoffov zákon (uzol): súčet prúdov do uzla = súčet prúdov z uzla — zachovanie náboja.
1. Kirchhoffov zákon (slučka): $\sum U_\mathrm{e} = \sum RI$ — zachovanie energie.
Za sebou: $R = R_1 + R_2 + \dots$ ; vedľa seba: $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dots$ , pre dva $R = \dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ .
Zložený obvod rieš po častiach: najprv vetvy vedľa seba nahraď jedným odporom, potom sa vráť späť.
Delič napätia bez záťaže: $U_2 = U\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$ .

Kirchhoffove zákony a zložené obvody

Uzol, vetva, slučka

1. Kirchhoffov zákon (pre uzol)

2. Kirchhoffov zákon (pre slučku)

Za sebou a vedľa seba — odvodenie

Delič napätia

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí