Absolútna hodnota a intervaly

Výťah je na −2. poschodí (garáž), ty bývaš na 5. Koľko poschodí prejde? A nabíjačka píše „pracovná teplota od 0 °C do 35 °C“ — ako to zapísať jedným symbolom? Na prvé je absolútna hodnota, na druhé interval.

Absolútna hodnota

Absolútna hodnota čísla $a$ je jeho vzdialenosť od nuly na číselnej osi. Značí sa $|a|$ . Vzdialenosť nie je nikdy záporná.

|a| = \begin{cases} a, & \text{ak } a \ge 0 \\ -a, & \text{ak } a < 0 \end{cases}

Teda $|5| = 5$ , $|0| = 0$ a $|-5| = -(-5) = 5$ . Opačné čísla majú rovnakú absolútnu hodnotu. Zo základnej školy to poznáš ako „číslo bez znamienka“ — definícia hore to hovorí presne.

Vypočítaj $|3 - 8| - |-2| \cdot 3$ .

Najprv vnútro absolútnej hodnoty: $3 - 8 = -5$ .
Absolútne hodnoty: $|-5| = 5$ , $|-2| = 2$ .
Násobenie má prednosť: $2 \cdot 3 = 6$ .
$5 - 6 =$ $-1$ .

Vzdialenosť dvoch čísel

Vzdialenosť čísel $a$ a $b$ na číselnej osi je

|a - b| = |b - a|

Výťah z −2. na 5. poschodie: $|5 - (-2)| = |7| = 7$ poschodí. Je jedno, ktoré číslo odčítaš od ktorého — absolútna hodnota znamienko zahodí.

Absolútna hodnota sa počíta až z výsledku, nie z každého čísla zvlášť. $|3 - 8| = |-5| = 5$ , ale $|3| - |8| = -5$ . A mínus pred absolútnou hodnotou zostáva: $-|-4| = -4$ , nie 4.

Intervaly

Interval je množina všetkých reálnych čísel medzi dvoma hranicami (alebo od hranice do nekonečna). Podstatné je, či hranica do intervalu patrí.

Zápis	Nerovnosť	Hranice
$\langle a;\, b\rangle$	$a \le x \le b$	obe patria (uzavretý)
$(a;\, b)$	$a < x < b$	ani jedna nepatrí (otvorený)
$\langle a;\, b)$	$a \le x < b$	patrí len $a$
$(a;\, b\rangle$	$a < x \le b$	patrí len $b$
$\langle a;\, \infty)$	$x \ge a$	$a$ patrí
$(-\infty;\, b)$	$x < b$	$b$ nepatrí

Na osi kreslíš hranicu, ktorá patrí, plným krúžkom, a ktorá nepatrí, prázdnym krúžkom. Pri $\infty$ je vždy okrúhla zátvorka — nekonečno nie je číslo. Teplota nabíjačky z úvodu: $t \in \langle 0;\, 35\rangle$ (v °C).

Zapíš intervalom všetky $x$ , pre ktoré platí $-2 \le x < 5$ . Koľko celých čísel doň patrí?

Ľavá hranica $-2$ patrí (znak $\le$ ) → lomená zátvorka.
Pravá hranica $5$ nepatrí (znak $<$ ) → okrúhla zátvorka.
Zápis: $x \in \langle -2;\, 5)$ .
Celé čísla: $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$ → 7 čísel (päťka už nie).

Absolútna hodnota a interval

Keďže $|x - s|$ je vzdialenosť čísla $x$ od čísla $s$ , nerovnicu vyriešiš pohľadom na os. Pre $r > 0$ :

|x - s| \le r \iff x \in \langle s - r;\, s + r\rangle

|x - s| < r \iff x \in (s - r;\, s + r)

Príklad: $|x - 2| \le 3$ znamená „od dvojky najviac 3“. Od 2 choď 3 doľava a 3 doprava: $x \in \langle -1;\, 5\rangle$ .

Tolerancia v technike je presne toto. Rezistor $100\ \Omega \pm 5\ \Omega$ má odpor $R$ , pre ktorý platí $|R - 100| \le 5$ , teda $R \in \langle 95;\, 105\rangle$ . Stred intervalu je menovitá hodnota, polovica šírky je tolerancia.

a) $|-7| + |4 - 9|$ b) zapíš intervalom $x > -3$ c) koľko celých čísel spĺňa $|x| < 4$ ?

Ukáž riešenie

a) $7 + |-5| = 7 + 5 =$ 12 b) $x \in (-3;\, \infty)$ c) $|x| < 4$ znamená $x \in (-4;\, 4)$ ; celé čísla $-3, -2, \dots, 3$ → 7

Hra: priraď ku každej podmienke správny interval — sleduj, či hranica patrí.

Zapamätaj si

$|a|$ je vzdialenosť čísla od nuly; nikdy nie je záporná.
$|a - b|$ je vzdialenosť čísel $a$ a $b$ na číselnej osi.
Lomená zátvorka $\langle$ = hranica patrí, okrúhla $($ = nepatrí; pri $\infty$ vždy okrúhla.
$|x - s| \le r$ je to isté ako $x \in \langle s - r;\, s + r\rangle$ .

Absolútna hodnota a intervaly

Absolútna hodnota

Vzdialenosť dvoch čísel

Intervaly

Absolútna hodnota a interval

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí