Percentá, promile a úroky

Slúchadlá za 80 € sú v akcii „−15 %“. Batéria mobilu ukazuje 37 %. Banka sľubuje 3 % ročne. Percentá sú všade, kde sa porovnáva časť s celkom — a kto ich ovláda, toho reklama neoklame.

Tri základné úlohy

Zo základnej školy: 1 % je stotina základu. V každej úlohe vystupujú tri veličiny — základ $z$ (100 %), počet percent $p$ a percentová časť $č$ :

č = z \cdot \frac{p}{100}

z = \frac{č \cdot 100}{p}

p = \frac{č}{z} \cdot 100

35 % z 240: $240 \cdot 0{,}35 = 84$ .
Koľko percent je 18 zo 72: $\frac{18}{72} \cdot 100 = 25\,\%$ .
12 je 40 % základu: $z = \frac{12 \cdot 100}{40} = 30$ .

Zmena o percentá — koeficient

Zľava 15 % znamená, že platíš $100\,\% - 15\,\% = 85\,\%$ ceny. Namiesto dvoch krokov násob jedným číslom — koeficientom:

\text{zníženie o } p\,\%:\ \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)

\text{zvýšenie o } p\,\%:\ \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)

Slúchadlá stoja 80 €, zľava je 15 %. Koľko zaplatíš?

Koeficient: $1 - 0{,}15 = 0{,}85$ .
$80\,€ \cdot 0{,}85 =$ $68\,€$ .

Opačná úloha: mikina po zľave 20 % stojí 36 €. Koľko stála pred zľavou?

Po zľave platíš 80 % pôvodnej ceny: $z \cdot 0{,}8 = 36\,€$ .
$z = 36\,€ : 0{,}8 =$ $45\,€$ .
Skúška: 20 % zo 45 € je 9 €, $45 - 9 = 36$ . Sedí.

Percentá z rôznych základov sa nedajú sčítať. Cena 100 € zdražie o 20 % → 120 €. Potom zlacnie o 20 % → $120 \cdot 0{,}8 = 96\,€$ , nie 100 €. Druhých 20 % sa počíta z väčšieho základu. Preto ani pri opačnej úlohe nepočítaj $36 \cdot 1{,}2$ — vyšlo by 43,20 € namiesto 45 €.

Promile

1 promile (1 ‰) je tisícina základu, teda desatina percenta:

1\,‰ = \frac{1}{1000} = 0{,}1\,\%

1\,\% = 10\,‰

Používa sa pri malých podieloch — stúpanie trate, obsah soli, poistné. Stúpanie 40 ‰ znamená, že na 1 000 m vodorovnej vzdialenosti vystúpiš o 40 m. A 3 ‰ z 2 000 € je $2\,000 \cdot 0{,}003 = 6\,€$ .

Úroky

Banka ti za uložené peniaze platí úrok. Úroková miera $p$ sa udáva v percentách za rok (p. a.). Vklad označme $K_0$ , počet rokov $n$ .

Jednoduché úrokovanie — úrok sa počíta stále len z pôvodného vkladu:

ú = K_0 \cdot \frac{p}{100} \cdot n

Zložené úrokovanie — úrok sa každý rok pripíše a ďalší rok sa úročí aj on:

K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

Vklad 500 € na 2 roky pri úrokovej miere 3 % p. a. Koľko budeš mať?

Jednoduché úrokovanie: $ú = 500\,€ \cdot 0{,}03 \cdot 2 = 30\,€$ , spolu $530\,€$ .
Zložené úrokovanie: $K_2 = 500\,€ \cdot 1{,}03^2 = 500\,€ \cdot 1{,}0609 =$ $530{,}45\,€$ .
Rozdiel 0,45 € je „úrok z úroku“ — 3 % z prvoročného úroku 15 €.

Počítanie z hlavy: 10 % = posuň desatinnú čiarku o jedno miesto doľava, 1 % o dve miesta. Ostatné poskladaj: 15 % z 80 je $8 + 4 = 12$ ; 35 % z 240 je $3 \cdot 24 + 12 = 84$ . A percentá sa dajú vymeniť: 8 % z 50 je to isté ako 50 % z 8, teda 4.

a) Tričko za 25 € zdraželo o 12 %. Koľko stojí? b) Koľko promile je 0,7 %? c) Aký jednoduchý úrok prinesie 1 200 € za 3 roky pri 2 % p. a.?

Ukáž riešenie

a) $25\,€ \cdot 1{,}12 =$ $28\,€$ b) $0{,}7 \cdot 10 =$ $7\,‰$ c) $1\,200\,€ \cdot 0{,}02 \cdot 3 =$ $72\,€$

Teraz ty: percentá zo života — zľavy, dáta, ceny. Skús to najprv spamäti.

Zapamätaj si

Percentová časť: $č = z \cdot \frac{p}{100}$ ; 1 % je stotina, 1 ‰ je tisícina základu.
Zmena o $p\,\%$ = násobenie koeficientom $1 \pm \frac{p}{100}$ (zľava 15 % → $\cdot\, 0{,}85$ ).
Pôvodnú cenu dostaneš delením koeficientom, nie pripočítaním percent.
Jednoduchý úrok: $ú = K_0 \cdot \frac{p}{100} \cdot n$ ; zložené úrokovanie: $K_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ .
Percentá z rôznych základov sa nesčítavajú: $+20\,\%$ a potom $-20\,\%$ dá 96 % pôvodnej ceny.

Percentá, promile a úroky

Tri základné úlohy

Zmena o percentá — koeficient

Promile

Úroky

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí