Deliteľ a násobok, prvočíslo

V skupine je 24 žiakov a tréner chce utvoriť rovnako veľké družstvá. Ide to po 2, po 3, po 4, po 6, po 8 aj po 12. Ale po 5 nie. Prečo? Odpoveď je v tom, ktoré čísla „idú“ do 24 bez zvyšku, a presne o tom je táto lekcia.

Deliteľ a násobok

Prirodzené číslo $a$ je deliteľné prirodzeným číslom $b$ , ak sa dá zapísať $a = b \cdot k$ , kde $k$ je prirodzené číslo. Hovoríme, že $b$ je deliteľ čísla $a$ a $a$ je násobok čísla $b$ .

Napríklad $24 = 6 \cdot 4$ , takže 6 je deliteľ čísla 24 a 24 je násobok čísla 6. Zapisujeme aj $6 \mid 24$ (čítaj „6 delí 24“).

Delitele čísla sú konečný zoznam: delitele čísla 24 sú $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ .
Násobkov je nekonečne veľa: násobky čísla 6 sú $6, 12, 18, 24, 30, \dots$

Každé prirodzené číslo má za deliteľa vždy aspoň 1 a samo seba.

Príklad 1: Nájdi všetky delitele čísla 36.

Skúšaj deliť od 1 smerom nahor a hľadaj dvojice, ktorých súčin je 36.
$1 \cdot 36$ , $2 \cdot 18$ , $3 \cdot 12$ , $4 \cdot 9$ , $6 \cdot 6$
Dvojica $6 \cdot 6$ dá deliteľa 6 len raz.
Delitele: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ (je ich 9).

Prvočíslo a zložené číslo

Podľa počtu deliteľov rozdeľujeme prirodzené čísla do troch skupín:

Prvočíslo má presne dva delitele: 1 a samo seba. Napríklad $2, 3, 5, 7, 11, 13$ .
Zložené číslo má viac ako dva delitele. Napríklad $4$ (delitele 1, 2, 4) alebo $12$ .
Číslo 1 má jediného deliteľa — samo seba. Nie je preto prvočíslo ani zložené.

Číslo 2 je jediné párne prvočíslo, každé iné párne číslo je deliteľné aj dvojkou, takže je zložené.

„Nepárne číslo je prvočíslo“ neplatí. Číslo 9 je nepárne, ale $9 = 3 \cdot 3$ . Podobne $91 = 7 \cdot 13$ vyzerá ako prvočíslo, a pritom je zložené. Pri podozrivom čísle skús deliť malými prvočíslami 2, 3, 5, 7, 11, …

Eratostenovo sito

Starý grécky spôsob, ako nájsť všetky prvočísla do zvoleného čísla, sa volá Eratostenovo sito. Postup pre čísla do 50:

Vypíš čísla od 1 do 50 a prečiarkni 1 (nie je prvočíslo).
Ponechaj 2 a prečiarkni všetky ďalšie násobky dvojky.
Prvé neprečiarknuté je 3: ponechaj ho a prečiarkni jeho násobky.
Ďalšie neprečiarknuté je 5, potom 7 — urob to isté.
Pre čísla do 50 už stačí skončiť: $11^2 = 121$ je viac ako 50, takže každé zložené číslo do 50 má deliteľa 2, 3, 5 alebo 7 a už je prečiarknuté.

Všetko, čo ostane neprečiarknuté, sú prvočísla (v tabuľke tučne):


1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50

Do 50 je presne 15 prvočísel.

Prvočísla sú „stavebné kamene“ všetkých čísel — každé zložené číslo sa dá rozložiť na súčin prvočísel (uvidíš v tretej lekcii). Využívajú sa aj pri šifrovaní, ktoré chráni tvoje platby cez mobil.

Príklad 2: Je číslo 91 prvočíslo?

91 nie je deliteľné 2 (nepárne), ani 3 ( $9 + 1 = 10$ ), ani 5 (nekončí 0 ani 5).
Skúsime 7: $7 \cdot 13 = 91$ .
Má deliteľa 7, preto je 91 zložené číslo.

a) Vypíš všetky delitele čísla 28. b) Ktoré prvočísla ležia medzi 50 a 60? c) Je číslo 51 prvočíslo?

Ukáž riešenie

a) $1 \cdot 28$ , $2 \cdot 14$ , $4 \cdot 7$ , teda $1, 2, 4, 7, 14, 28$ . b) 53 a 59 ( $51 = 3 \cdot 17$ ; 52, 54, 55, 56, 57, 58 sú tiež zložené). c) Nie, $51 = 3 \cdot 17$ , je to zložené číslo.

Hra: roztrieď čísla — niektoré zložené čísla sa dobre maskujú za prvočísla.

Zapamätaj si

$a$ je násobok $b$ , ak $a = b \cdot k$ pre celé $k$ ; potom $b$ je deliteľ čísla $a$ .
Prvočíslo má presne dva delitele (1 a samo seba); zložené číslo má viac ako dva.
Číslo 1 nie je prvočíslo ani zložené; číslo 2 je jediné párne prvočíslo.
Do 50 je 15 prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.


1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50


1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50

Deliteľ a násobok, prvočíslo