Funkcia: predpis, tabuľka, graf

Požičiaš si zdieľanú e-kolobežku. Odomknutie stojí 1 € a každá minúta jazdy 0,20 €. Koľko zaplatíš za 15 minút? A na koľko minút ti stačí 5 €? Cena závisí od času — a presne takúto závislosť matematika volá funkcia.

Čo je funkcia

Funkcia je pravidlo, ktoré každému číslu $x$ z nejakej množiny priradí práve jedno číslo $y$ .

$x$ je nezávisle premenná (vyberáš si ju ty — čas jazdy),
$y$ je závisle premenná (vyjde z pravidla — cena).

Funkciu vieš zadať tromi spôsobmi: predpisom, tabuľkou a grafom. Všetky tri hovoria to isté, len inak.

Kľúčové sú slová „práve jedno“. Za 15 minút jazdy nemôžeš zaplatiť raz 4 € a inokedy 6 €. Opačná situácia je dovolená: dve rôzne $x$ môžu mať rovnaké $y$ .

Predpis a funkčná hodnota

Predpis je vzorec, ktorým z $x$ vypočítaš $y$ . Kolobežka má predpis

f: y = 0{,}2x + 1

kde $x$ je čas v minútach a $y$ cena v eurách. Zápis $f(15)$ čítaj „hodnota funkcie $f$ v bode 15“ — za $x$ dosadíš 15.

Kolobežka: Koľko stojí 15 minút jazdy? Na koľko minút stačí 5 €?

Cena za 15 minút: $f(15) = 0{,}2 \cdot 15 + 1 = 3 + 1 = 4$ . Zaplatíš 4 €.
Opačná otázka — poznáš $y = 5$ , hľadáš $x$ : $0{,}2x + 1 = 5$ .
Odčítaj 1: $0{,}2x = 4$ . Vydeľ číslom 0,2: $x = 20$ .
Za 5 € jazdíš 20 minút. Skúška: $0{,}2 \cdot 20 + 1 = 5$ ✓

Tabuľka

Tabuľka je zoznam dvojíc $x$ a $y$ . Zvolíš niekoľko hodnôt $x$ a ku každej dopočítaš $y$ z predpisu.

Zostav tabuľku funkcie $f: y = 2x - 1$ pre celé čísla $x$ od $-1$ do $3$ .

Dosadzuj postupne: $f(-1) = 2 \cdot (-1) - 1 = -3$ .
$f(0) = 2 \cdot 0 - 1 = -1$ , $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ .
$f(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ , $f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ .

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$-3$	$-1$	$1$	$3$	$5$

Každý stĺpec je jeden bod grafu: $[-1; -3]$ , $[0; -1]$ , $[1; 1]$ , $[2; 3]$ , $[3; 5]$ .

Graf

Zo základnej školy poznáš pravouhlú súradnicovú sústavu: vodorovná os $x$ , zvislá os $y$ , pretínajú sa v počiatku $[0; 0]$ . Bod $A[2; 3]$ nájdeš tak, že ideš o 2 doprava a o 3 nahor. Prvá súradnica je vždy $x$ .

Graf funkcie tvoria všetky body $[x; f(x)]$ . Body z tabuľky vynesieš a spojíš.

Body z tabuľky ležia na jednej priamke — to je graf funkcie f: y = 2x − 1.

Z grafu vieš hodnoty aj čítať: z čísla na osi $x$ choď zvislo na graf a odtiaľ vodorovne na os $y$ .

Z grafu čítaš: 15 minút jazdy → hore na priamku → doľava na os y → 4 €.

Nie každá čiara je graf funkcie. Ak nejaká zvislá priamka pretne čiaru aspoň v dvoch bodoch, jednému $x$ patria dve rôzne $y$ — a to funkcia nie je. Príklad: kružnica so stredom v počiatku. Pre $x = 0$ má bod hore aj bod dole.

Druhá častá chyba: prehodené súradnice. Bod $[2; 3]$ a bod $[3; 2]$ sú dva rôzne body.

Leží bod na grafe? Nemusíš nič kresliť. Dosaď jeho $x$ do predpisu. Ak vyjde jeho $y$ , bod na grafe leží. Pre $f: y = 2x - 1$ a bod $A[2; 3]$ : $2 \cdot 2 - 1 = 3$ ✓ — leží.

Daná je funkcia $g: y = 3x - 2$ . Vypočítaj $g(4)$ a zisti, či bod $B[-1; -4]$ leží na jej grafe.

Ukáž riešenie

$g(4) = 3 \cdot 4 - 2 =$ 10.

$g(-1) = 3 \cdot (-1) - 2 = -5$ . Bod $B$ má $y = -4$ , čo nie je $-5$ , takže neleží na grafe.

Hra: rozhodni, či ide o funkciu — každé $x$ musí mať práve jedno $y$ .

Zapamätaj si

Funkcia priradí každému $x$ práve jedno $y$ .
Funkciu zadáš predpisom (napr. $f: y = 2x - 1$ ), tabuľkou alebo grafom.
Funkčná hodnota $f(3)$ = do predpisu dosadíš $x = 3$ .
Graf tvoria body $[x; f(x)]$ ; prvá súradnica je $x$ , druhá $y$ .
Bod leží na grafe práve vtedy, keď po dosadení jeho $x$ vyjde jeho $y$ .

Funkcia: predpis, tabuľka, graf

Čo je funkcia

Predpis a funkčná hodnota

Tabuľka

Graf

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí