Faktoriál a permutácie

Päť kamarátov sa chce odfotiť v rade vedľa seba. Kto bude vľavo? Kto uprostred? Koľko rôznych fotiek by mohlo vzniknúť? Odpoveď dáva jedna veľmi krátka značka, ktorá vyzerá ako zvolanie: $5!$ .

Faktoriál

Faktoriál prirodzeného čísla $n$ je súčin všetkých prirodzených čísel od 1 po $n$ :

n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1

Čítaj „n faktoriál“. Napríklad $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ a $6! = 720$ . Faktoriál rastie veľmi rýchlo:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	10
$n!$	1	2	6	24	120	720	5 040	3 628 800

Platí: $n! = n \cdot (n-1)!$ . Aby vzťah fungoval aj pre $n = 1$ ( $1! = 1 \cdot 0!$ ), platí dohoda $0! = 1$ . Sedí to aj s praktickým významom: prázdna skupina prvkov sa dá usporiadať práve jedným spôsobom (nijako).

Príklad 1: Vypočítaj $\dfrac{7!}{5!}$ .

Rozpíš: $\dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!}$
Skráť $5!$ : $7 \cdot 6$
Výsledok: 42

Pri podieli faktoriálov nikdy nepočítaj oba celé, najprv skracuj.

Permutácie

Permutácia z $n$ prvkov je každé usporiadanie všetkých $n$ rôznych prvkov do radu. Poradie rozhoduje: ABC a BAC sú dve rôzne permutácie.

Odkiaľ sa berie vzorec? Použi pravidlo súčinu z minulej lekcie. Na prvé miesto vyberieš z $n$ prvkov, na druhé z $n-1$ zostávajúcich, na tretie z $n-2$ a tak ďalej, až na posledné ostane jediný:

P(n) = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1 = n!

Príklad 2: Koľkými spôsobmi sa môže 5 kamarátov postaviť do radu?

Rôzne osoby, všetky v rade, poradie rozhoduje.
$P(5) = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$
Výsledok: 120 rôznych radov

Príklad 3: Z tých istých 5 kamarátov chcú Anna a Boris stáť vedľa seba. Koľko radov je takých?

Anna s Borisom tvoria „dvojicu“, ktorú berieme ako jeden celok. Spolu s ostatnými tromi sú to 4 celky, ktoré sa usporiadajú $4! = 24$ spôsobmi.
Vnútri dvojice môže byť Anna vľavo aj vpravo, to sú 2 možnosti.
Spolu: $2 \cdot 4! =$ 48 radov

Permutácie nájdeš aj v elektre: 4 rôzne farebné vodiče sa dajú pripojiť na 4 svorky v $4! = 24$ rôznych poradiach, ale správne je len jedno.

$n!$ nie je $n \cdot n$ ani $n + (n-1) + \dots$ ( $5! = 120$ , ale $5 \cdot 5 = 25$ a $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ ). A súčet faktoriálov nie je faktoriál súčtu: $2! + 3! = 8$ , ale $5! = 120$ .

a) Vypočítaj $8! / 6!$ . b) Koľkými spôsobmi sa dá usporiadať 5 rôznych žiaroviek v rade? c) Pre aké $n$ platí $n! = 5040$ ?

Ukáž riešenie

a) $\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 8 \cdot 7 =$ 56 b) $P(5) = 5! =$ 120 c) Z tabuľky: $7! = 5040$ , teda $n = 7$

Hra: priraď faktoriál k jeho hodnote — podiely skracuj, nepočítaj celé faktoriály.

Zapamätaj si

$n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$ , pričom $0! = 1$ .
$n! = n \cdot (n-1)!$ , preto sa podiely faktoriálov skracujú: $\dfrac{7!}{5!} = 7 \cdot 6$ .
Permutácia = usporiadanie všetkých $n$ rôznych prvkov do radu: $P(n) = n!$ .
Faktoriál rastie veľmi rýchlo: $10! = 3\,628\,800$ .
Súčet faktoriálov nie je faktoriál súčtu: $2! + 3! \ne 5!$ .

Faktoriál a permutácie

Faktoriál

Permutácie

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí