Počítanie s odmocninami: čiastočné odmocnenie a usmernenie zlomku

Striedavé napätie v zásuvke sa mení a v maxime dosahuje asi 325 V. Napriek tomu všade čítaš 230 V. To je takzvaná efektívna hodnota: maximum delené $\sqrt{2}$ . Ako sa počíta so zlomkom, ktorý má v menovateli odmocninu? A dá sa $\sqrt{50}$ napísať jednoduchšie? Na to sú dva triky: čiastočné odmocnenie a usmernenie zlomku.

Čiastočné odmocnenie

Z minulej lekcie: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ pre $a \ge 0$ , $b \ge 0$ . Ak sa odmocnenec dá rozložiť na súčin, v ktorom je druhá mocnina (4, 9, 16, 25, 36, …), túto časť odmocníš a zvyšok necháš pod odmocninou:

\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}

Zápis $5\sqrt{2}$ znamená $5 \cdot \sqrt{2}$ .

Čiastočne odmocni $\sqrt{72}$ .

Hľadaj najväčšiu druhú mocninu, ktorá delí 72: je to 36, lebo $72 = 36 \cdot 2$ .
$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2}$ .
$\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ .

Ak nájdeš len menšiu mocninu, nič sa nedeje: $\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}$ a pokračuješ, $2 \cdot \sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ .

Sčítanie a odčítanie

Odmocniny s rovnakým odmocnencom sčítaš ako rovnaké veci — tri jablká a päť jabĺk:

3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}

Rôzne odmocnence najprv skús čiastočne odmocniť. Často sa ukáže, že sú rovnaké.

Vypočítaj $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3}$ .

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ .
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ .
Všade je $\sqrt{3}$ : $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = (2 + 3 - 1)\sqrt{3}$ .
Výsledok: $4\sqrt{3}$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ nie je $\sqrt{5}$ . Skontroluj na kalkulačke: $\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3{,}15$ , ale $\sqrt{5} \approx 2{,}24$ . Ak sa odmocnence nedajú čiastočným odmocnením upraviť na rovnaký, do jednej odmocniny ich nesčítaš — výraz $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ je už hotový výsledok.

A $3\sqrt{2}$ nie je $\sqrt{6}$ . Číslo pred odmocninou ide pod odmocninu ako druhá mocnina: $3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$ .

Násobenie a umocňovanie

Pri násobení ide všetko pod jednu odmocninu:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$
$(\sqrt{3})^2 = 3$ — odmocnina a druhá mocnina sa zrušia (pre nezáporný odmocnenec)
$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

Usmernenie zlomku

Zlomok s odmocninou v menovateli sa zle odhaduje aj sčítava. Usmerniť zlomok znamená odstrániť odmocninu z menovateľa. Zlomok rozšíriš tou istou odmocninou — násobíš ho vlastne jednotkou, hodnota sa nezmení:

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Všeobecne pre $a > 0$ : $\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}$ .

Usmerni $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ .

Rozšír zlomok číslom $\sqrt{5}$ : $\dfrac{10}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5}$ .
V menovateli vzniklo $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$ .
Vykráť: $10 : 5 = 2$ .
Výsledok: $2\sqrt{5}$ .

Zásuvka: efektívne napätie je $U = \dfrac{U_m}{\sqrt{2}}$ , po usmernení $U = \dfrac{U_m\sqrt{2}}{2}$ . Pre $U_m = 325\,\mathrm{V}$ vyjde $U \approx 229{,}8\,\mathrm{V}$ , teda známych 230 V.

Užitočné hodnoty: $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ , $\sqrt{3} \approx 1{,}732$ , $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$ .

a) čiastočne odmocni $\sqrt{48}$ b) $\sqrt{20} + \sqrt{45}$ c) usmerni $\dfrac{6}{\sqrt{2}}$ d) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$

Ukáž riešenie

a) $\sqrt{16 \cdot 3} =$ $4\sqrt{3}$

b) $2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} =$ $5\sqrt{5}$

c) $\dfrac{6\sqrt{2}}{2} =$ $3\sqrt{2}$

d) $\sqrt{36} =$ 6

Hra: priraď výraz k jeho najjednoduchšiemu tvaru.

Zapamätaj si

Čiastočné odmocnenie: vyber spod odmocniny druhú mocninu, $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ .
Sčítať a odčítať sa dajú len odmocniny s rovnakým odmocnencom (najprv skús čiastočne odmocniť): $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ .
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ a $(\sqrt{a})^2 = a$ pre $a \ge 0$ , $b \ge 0$ .
Usmernenie zlomku: $\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}$ pre $a > 0$ .
$\sqrt{a} + \sqrt{b} \ne \sqrt{a + b}$ .