Druhá a tretia odmocnina

Štvorcová izba má 16 m². Aká dlhá je jedna stena? A reproduktor v tvare kocky má objem 8 litrov, teda 8 dm³ — akú má hranu? V oboch prípadoch poznáš mocninu a hľadáš základ. Presne to robí odmocnina.

Druhá odmocnina

Zo základnej školy: $\sqrt{16} = 4$ , lebo $4^2 = 16$ . Presne povedané:

Druhá odmocnina z nezáporného čísla $a$ je to nezáporné číslo $b$ , pre ktoré $b^2 = a$ .

\sqrt{a} = b \iff b^2 = a \quad (a \ge 0,\ b \ge 0)

Číslo pod odmocninou sa volá odmocnenec. Zo záporného čísla sa druhá odmocnina v reálnych číslach nedá urobiť — žiadne reálne číslo nemá zápornú druhú mocninu.

Oplatí sa vedieť spamäti: $11^2 = 121$ , $12^2 = 144$ , $13^2 = 169$ , $14^2 = 196$ , $15^2 = 225$ .

Tretia odmocnina

Tretia odmocnina z čísla $a$ je číslo $b$ , pre ktoré $b^3 = a$ . Hrana kocky s objemom 8 dm³ je $\sqrt[3]{8} = 2\,\mathrm{dm}$ , lebo $2^3 = 8$ .

Na rozdiel od druhej odmocniny funguje aj pre záporné čísla: $\sqrt[3]{-8} = -2$ , lebo $(-2)^3 = -8$ . (Niektoré učebnice definujú odmocninu len z nezáporných čísel a píšu $-\sqrt[3]{8}$ — výsledok je ten istý, $-2$ . Drž sa zápisu, ktorý používa tvoj učiteľ.)

Tretie mocniny do päť: $1, 8, 27, 64, 125$ .

Odmocnina súčinu a podielu

Pre $a \ge 0$ , $b \ge 0$ (pri podiele $b > 0$ ) platí:

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Vypočítaj bez kalkulačky: a) $\sqrt{1600}$ b) $\sqrt{0{,}09}$ c) $\sqrt{\frac{4}{25}}$ .

a) $\sqrt{1600} = \sqrt{16 \cdot 100} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{100} = 4 \cdot 10 =$ 40.
b) $0{,}09 = \frac{9}{100}$ , teda $\sqrt{0{,}09} = \frac{3}{10} =$ 0,3. Skúška: $0{,}3^2 = 0{,}09$ .
c) $\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} =$ $\frac{2}{5}$ .

Pre súčet pravidlo neplatí: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , ale $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ . Teda $\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ .

$\sqrt{9}$ je 3, nie $\pm 3$ . Odmocnina je vždy nezáporná. Dve riešenia, $3$ a $-3$ , má rovnica $x^2 = 9$ — to je iná otázka.

Odmocnina z druhej mocniny

Skús $\sqrt{(-7)^2}$ : najprv $(-7)^2 = 49$ , potom $\sqrt{49} = 7$ . Mínus sa stratil. Preto pre každé reálne $a$ :

\sqrt{a^2} = |a|

Pre $a \ge 0$ je to jednoducho $a$ . Naopak $(\sqrt{a})^2 = a$ platí pre každé $a \ge 0$ .

Keď to nevyjde pekne

Väčšina odmocnín nie je celé číslo. $\sqrt{50}$ leží medzi 7 a 8, lebo $7^2 = 49$ a $8^2 = 64$ — a bude tesne nad sedmičkou. Kalkulačka dá $\sqrt{50} \approx 7{,}07$ . Odmocnina z prirodzeného čísla, ktoré nie je druhou mocninou celého čísla, má nekonečný neperiodický desatinný rozvoj (je iracionálna), preto ju často nechávame v tvare s odmocninou.

Na rezistore $R = 50\,\Omega$ sa má uvoľňovať výkon $P = 2\,\mathrm{W}$ . Aké napätie potrebuješ? Platí $P = \dfrac{U^2}{R}$ .

Vyjadri druhú mocninu napätia: $U^2 = P \cdot R$ .
Dosaď: $U^2 = 2 \cdot 50 = 100$ (vo V²).
Napätie berieme kladné: $U = \sqrt{100}\,\mathrm{V}$ .
$U = 10\,\mathrm{V}$ .

Desiatky pod odmocninou: pri druhej odmocnine sa exponent desiatky delí dvoma: $\sqrt{10^6} = 10^3$ . Preto $\sqrt{0{,}0004} = \sqrt{4 \cdot 10^{-4}} = 2 \cdot 10^{-2} = 0{,}02$ . Ak odmocnina vyjde presne, párny počet desatinných miest pod odmocninou dá polovičný počet vo výsledku.

a) $\sqrt{144}$ b) $\sqrt[3]{125}$ c) $\sqrt[3]{-27}$ d) $\sqrt{(-7)^2}$ e) $\sqrt{0{,}25}$

Ukáž riešenie

a) 12, lebo $12^2 = 144$

b) 5, lebo $5^3 = 125$

c) −3, lebo $(-3)^3 = -27$

d) $\sqrt{49} =$ 7 (nie −7)

e) 0,5, lebo $0{,}5^2 = 0{,}25$

Teraz ty: druhé a tretie mocniny a odmocniny spamäti — čím viac ich poznáš, tým rýchlejšie odmocňuješ.

Zapamätaj si

$\sqrt{a}$ pre $a \ge 0$ je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina je $a$ ; číslo pod odmocninou je odmocnenec.
$\sqrt[3]{a}$ existuje pre každé reálne $a$ , napríklad $\sqrt[3]{-8} = -2$ .
$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ a $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ pre $a \ge 0$ , $b > 0$ .
$\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ .
$\sqrt{a^2} = |a|$ .

Druhá a tretia odmocnina

Druhá odmocnina

Tretia odmocnina

Odmocnina súčinu a podielu

Odmocnina z druhej mocniny

Keď to nevyjde pekne

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí