Mocnina s prirodzeným exponentom a pravidlá

Pošleš vtipné video dvom kamošom. Každý z nich ho pošle ďalším dvom, tí zase ďalším dvom. Koľko ľudí ho dostane v dvadsiatom kole? Nie 40, ale $2^{20} = 1\,048\,576$ — viac než milión. Mocniny rastú rýchlo a v tejto lekcii sa s nimi naučíš počítať bez toho, aby si ich rozpisoval.

Čo je mocnina

Mocnina je skrátený zápis opakovaného násobenia — to poznáš zo základnej školy:

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{-krát}}

$a$ je základ, inak mocnenec (čo násobíš),
$n$ je exponent, inak mocniteľ (koľkokrát),
celé $a^n$ je mocnina.

Napríklad $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Exponent je zatiaľ prirodzené číslo a platí $a^1 = a$ .

Rovnaký základ: násobenie a delenie

Rozpíš si $2^3 \cdot 2^5$ : sú to tri dvojky krát päť dvojok, spolu osem dvojok. Exponenty sa sčítajú:

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Pri delení sa dvojky krátia, exponenty sa odčítajú (zatiaľ pre $m > n$ a $a \ne 0$ ):

a^m : a^n = a^{m-n}

Vypočítaj $2^3 \cdot 2^5 : 2^6$ .

Všade je rovnaký základ 2, pracuješ len s exponentmi.
Násobenie: $2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$ .
Delenie: $2^8 : 2^6 = 2^{8-6} = 2^2$ .
Výsledok: $2^2 = 4$ .

Mocnina mocniny

$(3^2)^3$ znamená $3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 = 3^{2+2+2} = 3^6$ . Exponenty sa násobia:

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Napríklad $(10^2)^3 = 10^6 = 1\,000\,000$ .

Mocnina súčinu a podielu

Exponent za zátvorkou patrí každému činiteľovi v nej:

(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)

Napríklad $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$ a $\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125}$ .

Zjednoduš $(2x^3)^2 \cdot x^4$ .

Umocni každý činiteľ v zátvorke: $(2x^3)^2 = 2^2 \cdot (x^3)^2$ .
$2^2 = 4$ a $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$ .
Vynásob mocniny s rovnakým základom: $4x^6 \cdot x^4 = 4x^{6+4}$ .
Výsledok: $4x^{10}$ .

Záporný základ a znamienka

Záporný základ píš vždy v zátvorke. Párny exponent dá kladný výsledok, nepárny záporný:

$(-2)^4 = 16$ — štyri mínusy sa spárujú,
$(-2)^3 = -8$ — jeden mínus zostane.

$-3^2$ nie je to isté ako $(-3)^2$ .

$(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$ — umocňuje sa číslo $-3$ .
$-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$ — umocňuje sa len trojka, mínus stojí pred mocninou.

A súčet sa neumocňuje po členoch: $(2+3)^2 = 5^2 = 25$ , ale $2^2 + 3^2 = 13$ . Teda $(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$ . Pravidlo o zátvorke platí len pre súčin a podiel.

Elektro: výkon na rezistore je $P = R \cdot I^2$ . Umocňuje sa len prúd. Pre $R = 40\,\Omega$ a $I = 5\,\mathrm{A}$ je $P = 40 \cdot 5^2 = 40 \cdot 25 = 1000\,\mathrm{W}$ , nie $(40 \cdot 5)^2$ .

Pamäť: $2^{10} = 1024$ , teda približne tisíc. Preto sa v počítačoch tak často stretneš s číslom 1024.

a) $5^7 : 5^5$ b) $(-2)^5$ c) $(3^2)^3 : 3^4$ d) $(3a^2)^3$

Ukáž riešenie

a) $5^{7-5} = 5^2 =$ 25

b) nepárny exponent, výsledok je záporný: −32

c) $3^6 : 3^4 = 3^2 =$ 9

d) $3^3 \cdot (a^2)^3 =$ $27a^6$

Hra: priraď výraz k jeho upravenému tvaru — pozor na rozdiel medzi $(a^3)^4$ a $a^3 \cdot a^4$ .

Zapamätaj si

Mocnina $a^n$ je súčin $n$ rovnakých činiteľov $a$ ; $a$ je základ, $n$ exponent (mocniteľ).
Rovnaký základ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ a $a^m : a^n = a^{m-n}$ pre $a \ne 0$ (zatiaľ $m > n$ ).
Mocnina mocniny: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ .
Súčin a podiel: $(ab)^n = a^n b^n$ , $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ pre $b \ne 0$ .
$(-3)^2 = 9$ , ale $-3^2 = -9$ ; a $(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$ .