Nulový a záporný exponent

Na kondenzátore v nabíjačke je kapacita v mikrofaradoch, teda v násobkoch $10^{-6}\,\mathrm{F}$ . V jednotkách rýchlosti nájdeš $\mathrm{m \cdot s^{-1}}$ . Dá sa niečo vynásobiť „mínus šesťkrát“? Nedá — záporný exponent znamená niečo iné a je to jednoduchšie, než vyzerá.

Odkiaľ sa vezme nula v exponente

Z minulej lekcie vieš, že $a^m : a^n = a^{m-n}$ . Čo ak sú exponenty rovnaké?

2^3 : 2^3 = 2^{3-3} = 2^0

Zároveň $2^3 : 2^3 = 8 : 8 = 1$ . Aby pravidlo sedelo, musí platiť:

a^0 = 1 \quad (a \ne 0)

Vidno to aj na rade $2^3 = 8$ , $2^2 = 4$ , $2^1 = 2$ : každý krok delíš dvoma, takže ďalší člen je $2^0 = 1$ .

Záporný exponent

Pokračuj v tom rade ďalej: $2^{-1} = \frac{1}{2}$ , $2^{-2} = \frac{1}{4}$ , $2^{-3} = \frac{1}{8}$ . Záporný exponent teda znamená prevrátenú hodnotu:

a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \ne 0)

Podmienka $a \ne 0$ je nutná, lebo nulou sa nedelí. Výraz $0^0$ nedefinujeme.

Vypočítaj $2^{-3}$ a $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$ .

$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$ , čo je 0,125.
Pri zlomku záporný exponent zlomok prevráti: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}$ .
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{9}{4}$ .
Výsledok: $\frac{1}{8}$ a $\frac{9}{4}$ .

Všeobecne pre $a \ne 0$ , $b \ne 0$ :

\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}

Pravidlá platia ďalej

Všetky pravidlá z minulej lekcie fungujú aj pre nulové a záporné exponenty — stačí, aby základ nebol nula. Pri delení už netreba strážiť, ktorý exponent je väčší.

Zjednoduš $\dfrac{x^{-2} \cdot x^{5}}{x^{-1}}$ pre $x \ne 0$ .

Čitateľ: $x^{-2} \cdot x^{5} = x^{-2+5} = x^{3}$ .
Delenie: $x^{3} : x^{-1} = x^{3-(-1)} = x^{3+1}$ .
Výsledok: $x^{4}$ .

To isté s číslami: $3^{-2} \cdot 3^{5} : 3^{1} = 3^{-2+5-1} = 3^{2} = 9$ .

Mocniny desiatky

Pri desiatke exponent hovorí, kde je desatinná čiarka:

$10^{3}$	$10^{2}$	$10^{1}$	$10^{0}$	$10^{-1}$	$10^{-2}$	$10^{-3}$
1000	100	10	1	0,1	0,01	0,001

Napríklad $10^{-3} \cdot 10^{5} = 10^{2} = 100$ a $10^{-6} = \frac{1}{1\,000\,000}$ — jedna milióntina, presne tá z kondenzátora.

Záporný exponent nerobí číslo záporným. $2^{-3}$ nie je $-8$ ani $-6$ , ale $\frac{1}{8}$ — malé kladné číslo. O znamienku rozhoduje základ, nie exponent.

A $a^0$ nie je nula: $7^0 = 1$ . Pozor aj na zátvorky: $(-5)^0 = 1$ , ale $-5^0 = -1$ , lebo mínus stojí pred mocninou.

Presťahuj cez zlomkovú čiaru: mocnina, ktorá prejde z čitateľa do menovateľa (alebo naopak), zmení znamienko exponentu. Preto je $\mathrm{m \cdot s^{-1}}$ to isté ako $\mathrm{m/s}$ a $\dfrac{1}{x^{-2}} = x^{2}$ pre $x \ne 0$ .

a) $5^{-2}$ b) $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$ c) $7^0 + 7^1$ d) $10^{-2} \cdot 10^{-1}$

Ukáž riešenie

a) $\frac{1}{25}$ , čo je 0,04

b) prevrátiš zlomok: $2^3 =$ 8

c) $1 + 7 =$ 8

d) $10^{-3} =$ 0,001

Hra: priraď mocninu k jej hodnote — záporný exponent znamená prevrátenú hodnotu, nie záporné číslo.

Zapamätaj si

$a^0 = 1$ pre každé $a \ne 0$ .
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ pre $a \ne 0$ — záporný exponent je prevrátená hodnota, nie záporné číslo.
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$ — zlomok sa prevráti.
Pravidlá pre mocniny platia pre všetky celé exponenty, ak základ nie je nula.
$10^{-1} = 0{,}1$ , $10^{-2} = 0{,}01$ , $10^{-3} = 0{,}001$ .

Nulový a záporný exponent

Odkiaľ sa vezme nula v exponente

Záporný exponent

Pravidlá platia ďalej

Mocniny desiatky

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí