Pytagorova veta

Rebrík dlhý 5 m opieraš o stenu, pätu máš 1,5 m od steny. Do akej výšky dočiahne? A prečo má televízor „55 palcov“, keď nie je ani taký široký, ani taký vysoký? Na obe otázky odpovedá jedna veta, ktorá má vyše 2 500 rokov.

Prepona a odvesny

V pravouhlom trojuholníku $ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $C$ :

odvesny $a$ a $b$ sú strany, ktoré zvierajú pravý uhol,
prepona $c$ leží oproti pravému uhlu a je vždy najdlhšia.

Pravouhlý trojuholník s odvesnami $a = 3$ , $b = 4$ a preponou $c = 5$ . Pravý uhol je pri vrchole $C$ .

Obsah štvorca nad preponou sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad odvesnami:

c^2 = a^2 + b^2

Pre trojuholník z obrázka: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ . Sedí.

Veta platí len v pravouhlom trojuholníku. Z nej dostaneš preponu:

c = \sqrt{a^2 + b^2}

Uhlopriečka televízora: obrazovka je široká 121,8 cm a vysoká 68,5 cm. Aká dlhá je uhlopriečka?

Šírka a výška sú kolmé — sú to odvesny, uhlopriečka je prepona.
$c = \sqrt{(121{,}8\,\mathrm{cm})^2 + (68{,}5\,\mathrm{cm})^2} = \sqrt{14\,835{,}24 + 4\,692{,}25}\,\mathrm{cm} = \sqrt{19\,527{,}49}\,\mathrm{cm}$
$c \approx 139{,}7\,\mathrm{cm}$

Jeden palec je 2,54 cm, takže $139{,}7 : 2{,}54 \approx 55$ . Preto „55-palcový“ televízor — uvádza sa uhlopriečka.

Výpočet odvesny

Keď poznáš preponu a jednu odvesnu, vetu upravíš — od štvorca prepony odčítaš:

a = \sqrt{c^2 - b^2}

b = \sqrt{c^2 - a^2}

Rebrík: je dlhý 5 m, päta je 1,5 m od steny. Do akej výšky dočiahne?

Rebrík je prepona ( $c = 5\,\mathrm{m}$ ), vzdialenosť od steny je odvesna ( $b = 1{,}5\,\mathrm{m}$ ), výška je druhá odvesna $a$ .
$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{(5\,\mathrm{m})^2 - (1{,}5\,\mathrm{m})^2} = \sqrt{25 - 2{,}25}\,\mathrm{m} = \sqrt{22{,}75}\,\mathrm{m}$
$a \approx 4{,}77\,\mathrm{m}$

Kontrola rozumom: výška musí byť menšia ako dĺžka rebríka. Je.

Prepona nie je odvesna. Najčastejšia chyba: sčítať štvorce aj vtedy, keď hľadáš odvesnu. Pri rebríku by vyšlo $\sqrt{25 + 2{,}25}\,\mathrm{m} \approx 5{,}22\,\mathrm{m}$ — rebrík by dočiahol vyššie, než je sám dlhý. Najprv si urči, ktorá strana je prepona (oproti pravému uhlu). Preponu počítaš sčítaním, odvesnu odčítaním. A pozor: $\sqrt{a^2 + b^2}$ nie je $a + b$ .

Je trojuholník pravouhlý?

Veta funguje aj naopak. Ak pre strany trojuholníka platí $a^2 + b^2 = c^2$ (kde $c$ je najdlhšia strana), trojuholník je pravouhlý.

Strany 5 cm, 12 cm, 13 cm: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ — pravouhlý.

Strany 4 cm, 5 cm, 6 cm: $4^2 + 5^2 = 41$ , ale $6^2 = 36$ — nie je pravouhlý.

Takto murári vytyčujú pravý uhol: odmerajú 3 m, 4 m a kontrolujú, či je uhlopriečka presne 5 m.

Vyskúšaj si to — zadaj dve strany a nástroj dopočíta zvyšok aj s postupom:

Pytagorejské trojice sú celé čísla, ktoré vete vyhovujú: 3, 4, 5 · 5, 12, 13 · 8, 15, 17 · 7, 24, 25. Fungujú aj ich násobky (6, 8, 10 alebo 30, 40, 50). Keď ich v zadaní spoznáš, výsledok máš bez kalkulačky.

Displej mobilu má šírku 7 cm a výšku 15 cm. Aká dlhá je jeho uhlopriečka? Zaokrúhli na jedno desatinné miesto.

Ukáž riešenie

$c = \sqrt{(7\,\mathrm{cm})^2 + (15\,\mathrm{cm})^2} = \sqrt{49 + 225}\,\mathrm{cm} = \sqrt{274}\,\mathrm{cm} \approx$ $16{,}6\,\mathrm{cm}$

Hra: sú to strany pravouhlého trojuholníka? Over $a^2 + b^2 = c^2$ pre najdlhšiu stranu $c$ .

Zapamätaj si

Prepona $c$ leží oproti pravému uhlu a je najdlhšia, odvesny $a$ , $b$ zvierajú pravý uhol.
Pytagorova veta: $c^2 = a^2 + b^2$ — platí len v pravouhlom trojuholníku.
Prepona: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ , odvesna: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .
Ak pre strany platí $a^2 + b^2 = c^2$ , trojuholník je pravouhlý.

Pytagorova veta

Prepona a odvesny

Pytagorova veta

Výpočet odvesny

Je trojuholník pravouhlý?

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí