Lineárna rovnica: ekvivalentné úpravy a skúška

Na brigáde dostaneš 12 € za príchod a 4 € za každú hodinu. Chceš slúchadlá za 60 €. Koľko hodín musíš odrobiť? Hľadáš číslo $x$ , pre ktoré platí $12 + 4x = 60$ . To je lineárna rovnica — a po tejto lekcii ju vyriešiš za pár sekúnd.

Čo je rovnica a jej koreň

Rovnica je zápis rovnosti dvoch výrazov s neznámou, napríklad $12 + 4x = 60$ . Vľavo je ľavá strana $L$ , vpravo pravá strana $P$ .

Koreň (riešenie) je číslo, ktoré po dosadení za $x$ dá pravdivú rovnosť. Všetky korene zapisujeme do množiny $K$ .

Lineárna rovnica má neznámu len v prvej mocnine — žiadne $x^2$ , žiadne $x$ v menovateli. Dá sa upraviť na tvar $ax = b$ .

Ekvivalentné úpravy

Rovnica je ako váha v rovnováhe: čo urobíš s jednou stranou, musíš urobiť aj s druhou. Úpravy, ktoré nemenia množinu koreňov, sa volajú ekvivalentné:

Úprava	Príklad
pripočítať alebo odpočítať to isté číslo či výraz	$x - 7 = 8 \;\Rightarrow\; x = 15$
vynásobiť alebo vydeliť tým istým číslom rôznym od nuly	$4x = 48 \;\Rightarrow\; x = 12$
upraviť jednu stranu (roznásobiť zátvorku, sčítať členy)	$3x + 2x = 10 \;\Rightarrow\; 5x = 10$
vymeniť strany	$8 = 2x \;\Rightarrow\; 2x = 8$

„Prenesenie člena na druhú stranu so zmenou znamienka“ zo základnej školy je len skratka pre prvý riadok tabuľky.

Brigáda: $12 + 4x = 60$ , odpočítaš 12, dostaneš $4x = 48$ , vydelíš 4 a máš $x = 12$ . Odrobíš 12 hodín.

Postup a skúška

Odstráň zátvorky a zlúč členy na každej strane.
Členy s $x$ daj na jednu stranu, čísla na druhú.
Vydeľ číslom pri $x$ .
Skúška: dosaď koreň do pôvodnej rovnice, zvlášť do $L$ a zvlášť do $P$ .

Príklad 1: Vyrieš $5x - 7 = 2x + 8$ .

Odpočítaj $2x$ : $3x - 7 = 8$
Pripočítaj 7: $3x = 15$
Vydeľ 3: $x = 5$

Skúška: $L = 5\cdot 5 - 7 = 18$ , $P = 2\cdot 5 + 8 = 18$ , teda $L = P$ . Zápis: $K = \{5\}$ .

Príklad 2: Vyrieš $3(x - 2) - (x + 4) = 4x - 2$ .

Zátvorky: $3x - 6 - x - 4 = 4x - 2$ (mínus pred zátvorkou mení obe znamienka)
Zlúč ľavú stranu: $2x - 10 = 4x - 2$
Odpočítaj $4x$ , pripočítaj 10: $-2x = 8$
Vydeľ $-2$ : $x = -4$

Skúška: $L = 3\cdot(-6) - 0 = -18$ , $P = 4\cdot(-4) - 2 = -18$ , teda $L = P$ . Zápis: $K = \{-4\}$ .

Skúšku rob vždy do pôvodnej rovnice, nie do upraveného riadku. Ak si spravil chybu hneď v prvej úprave, upravený riadok ti ju neukáže. Vo fyzike a elektrotechnike budeš rovnice riešiť stále — skúška je tvoja poistka pred písomkou aj v dielni.

Koľko riešení môže mať rovnica

Niekedy neznáma pri úpravách úplne vypadne. Potom rozhoduje, čo zostalo:

Čo zostane	Čo to znamená	Zápis
$x =$ číslo	práve jedno riešenie	$K = \{5\}$
nepravdivá rovnosť, napr. $6 = 5$	žiadne riešenie	$K = \emptyset$
pravdivá rovnosť, napr. $-1 = -1$	riešením je každé reálne číslo	$K = \mathbb{R}$

$2(x + 3) = 2x + 5$ dá $2x + 6 = 2x + 5$ , po odpočítaní $2x$ zostane $6 = 5$ . Nepravda, teda $K = \emptyset$ .
$3(x - 1) + 2 = 3x - 1$ dá $3x - 1 = 3x - 1$ , teda $-1 = -1$ . Platí vždy, $K = \mathbb{R}$ .

Nedeľ rovnicu neznámou. Rovnica $5x = 2x$ zvádza vydeliť obe strany $x$ . Vyšlo by $5 = 2$ a záver „nemá riešenie“. Lenže $x$ môže byť nula a nulou sa deliť nesmie. Správne: odpočítaj $2x$ , dostaneš $3x = 0$ , teda $x = 0$ . Delením výrazom s neznámou môžeš stratiť riešenie.

Vyrieš $7 - 2(x + 1) = 3x - 10$ a urob skúšku.

Ukáž riešenie

$7 - 2x - 2 = 3x - 10$ , teda $5 - 2x = 3x - 10$ . Pripočítaj $2x$ a 10: $15 = 5x$ , takže $x = 3$ .

Skúška: $L = 7 - 2\cdot 4 = -1$ , $P = 3\cdot 3 - 10 = -1$ , teda $L = P$ . $K = \{3\}$ .

Teraz ty: vyrieš rovnice — trenažér ti po chybe ukáže postup aj skúšku.

Zapamätaj si

Ekvivalentné úpravy: pripočítať či odpočítať to isté na oboch stranách, vynásobiť či vydeliť tým istým nenulovým číslom.
Mínus pred zátvorkou mení znamienko každého člena v nej: $-(x + 4) = -x - 4$ .
Skúška sa robí dosadením do pôvodnej rovnice: musí vyjsť $L = P$ .
Nepravdivá rovnosť bez $x$ znamená $K = \emptyset$ , pravdivá znamená $K = \mathbb{R}$ .
Nikdy nedeľ výrazom s neznámou — môžeš stratiť riešenie.

Lineárna rovnica: ekvivalentné úpravy a skúška

Čo je rovnica a jej koreň

Ekvivalentné úpravy

Postup a skúška

Koľko riešení môže mať rovnica

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí