Rovnice so zlomkami a s neznámou v menovateli

Nabíjačka má napätie 12 V a ty chceš, aby obvodom tiekol prúd 0,5 A. Aký odpor potrebuješ? Zo vzťahu $I = \dfrac{U}{R}$ dostaneš rovnicu $\dfrac{12}{R} = 0{,}5$ — neznáma sedí v menovateli. Takéto rovnice majú jedno pravidlo navyše a o ňom je táto lekcia.

Zlomky s číslom v menovateli

Zlomkov sa zbavíš tak, že celú rovnicu vynásobíš spoločným menovateľom — najlepšie najmenším spoločným násobkom všetkých menovateľov. Je to ekvivalentná úprava, lebo násobíš nenulovým číslom.

Dve veci si stráž: násobíš každý člen na oboch stranách (aj ten bez zlomku) a čitateľ s viacerými členmi daj do zátvorky.

Príklad 1: Vyrieš $\dfrac{x - 1}{2} - \dfrac{x + 2}{3} = 1$ .

Spoločný menovateľ čísel 2 a 3 je 6. Vynásob každý člen šiestimi: $3(x - 1) - 2(x + 2) = 6$
Roznásob: $3x - 3 - 2x - 4 = 6$
Zlúč: $x - 7 = 6$
$x = 13$

Skúška: $L = \dfrac{12}{2} - \dfrac{15}{3} = 6 - 5 = 1$ , $P = 1$ , teda $L = P$ . $K = \{13\}$ .

Mínus pred zlomkom patrí celému čitateľu. Z $-\dfrac{x + 2}{3}$ po vynásobení šiestimi vznikne $-2(x + 2) = -2x - 4$ , nie $-2x + 4$ . A pravú stranu tiež násobíš: z jednotky je $6$ , nie $1$ .

Neznáma v menovateli: najprv podmienky

Nulou sa deliť nedá. Ak je $x$ v menovateli, ešte pred riešením napíš, čomu sa $x$ nesmie rovnať — každý menovateľ musí byť rôzny od nuly. To sú podmienky.

Potom rovnicu vynásob spoločným menovateľom, vyrieš a na konci porovnaj koreň s podmienkami.

Pri tvare „zlomok = zlomok“ pomôže násobenie do kríža: z $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ je $a\cdot d = b\cdot c$ .

Príklad 2: Vyrieš $\dfrac{3}{x - 2} = \dfrac{5}{x + 2}$ .

Podmienky: $x \neq 2$ a $x \neq -2$ .
Násob do kríža: $3(x + 2) = 5(x - 2)$
Roznásob: $3x + 6 = 5x - 10$
$16 = 2x$ , teda $x = 8$ — podmienkam vyhovuje.

Skúška: $L = \dfrac{3}{6} = \dfrac12$ , $P = \dfrac{5}{10} = \dfrac12$ , teda $L = P$ . $K = \{8\}$ .

Keď vyjde zakázané číslo

Násobenie výrazom s neznámou nie je vždy ekvivalentná úprava — výraz môže byť nulový. Preto sa môže objaviť „koreň“, ktorý do pôvodnej rovnice nepatrí.

Príklad 3: Vyrieš $\dfrac{x}{x - 3} = \dfrac{3}{x - 3} + 2$ .

Podmienka: $x \neq 3$ .
Vynásob výrazom $(x - 3)$ : $x = 3 + 2(x - 3)$
Roznásob: $x = 2x - 3$
Vychádza $x = 3$ — ale to podmienka zakazuje.

Skúška: pre $x = 3$ by v menovateli bola nula, $L$ ani $P$ sa nedajú vypočítať. Rovnica nemá riešenie, $K = \emptyset$ .

Vypočítané číslo ešte nie je koreň. Pri neznámej v menovateli je kontrola podmienok povinná, nie dobrovoľná. Kto ju vynechá, odovzdá ako výsledok číslo, pre ktoré rovnica nedáva zmysel.

Úvodná nabíjačka: $\dfrac{12}{R} = 0{,}5$ , podmienka $R \neq 0$ . Vynásob $R$ : $12 = 0{,}5\cdot R$ , teda $R = 24\,\Omega$ . Skúška: $\dfrac{12}{24} = 0{,}5$ . Rovnaký trik použiješ pri každom vzorci so zlomkom.

a) $\dfrac{x}{4} - 1 = \dfrac{x}{6}$ b) $\dfrac{2x + 1}{x - 1} = 3$

Ukáž riešenie

a) Vynásob 12: $3x - 12 = 2x$ , teda $x = 12$ . Skúška: $L = 3 - 1 = 2$ , $P = \dfrac{12}{6} = 2$ . $K = \{12\}$ .

b) Podmienka $x \neq 1$ . Vynásob $(x - 1)$ : $2x + 1 = 3x - 3$ , teda $x = 4$ , podmienke vyhovuje. Skúška: $L = \dfrac{9}{3} = 3 = P$ . $K = \{4\}$ .

Hra: priraď rovnicu k jej množine koreňov — pri neznámej v menovateli nezabudni na podmienky.

Zapamätaj si

Zlomky odstrániš vynásobením každého člena rovnice spoločným menovateľom.
Čitateľ s viacerými členmi daj do zátvorky, hlavne keď je pred zlomkom mínus.
Neznáma v menovateli: najprv podmienky (menovateľ $\neq 0$ ), až potom počítaj.
Koreň, ktorý nevyhovuje podmienkam, nie je riešením — môže vyjsť aj $K = \emptyset$ .
Tvar zlomok = zlomok: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ dá $a\cdot d = b\cdot c$ .

Rovnice so zlomkami a s neznámou v menovateli

Zlomky s číslom v menovateli

Neznáma v menovateli: najprv podmienky

Keď vyjde zakázané číslo

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí