Sporenie a inflácia

Šetríš na auto: z brigády odložíš každý rok 1 000 € na účet s úrokom napríklad 3 % ročne. Koľko tam bude o tri roky? A ešte dôležitejšia otázka: ak ceny medzitým stúpnu, kúpiš si za to auto, ktoré si chcel? Na to potrebuješ dve veci — vzorec pre sporenie a infláciu.

Pravidelné sporenie

Pri sporení nevložíš peniaze raz, ale opakovane. Každý vklad sa úročí inak dlho: prvý najdlhšie, posledný najkratšie. Najjednoduchšie je zúročiť každý vklad zvlášť a sčítať.

1 000 € na začiatku každého roka, 3 roky, 3 % p. a. (zložené úrokovanie). Stav na konci 3. roka?

Vklad	Úročí sa	Na konci 3. roka
1. rok	3 roky	$1\,000 \cdot 1{,}03^3 \doteq 1\,092{,}73$ €
2. rok	2 roky	$1\,000 \cdot 1{,}03^2 = 1\,060{,}90$ €
3. rok	1 rok	$1\,000 \cdot 1{,}03 = 1\,030{,}00$ €

Spolu 3 183,63 €. Vložil si 3 000 €, úroky dali 183,63 €.

Vzorec pre sporenie

Ak vkladáš sumu $a$ na začiatku každého z $n$ rokov pri úrokovacom koeficiente $q = 1 + \frac{p}{100}$ , stav na konci $n$ -tého roka je

S_n = a \cdot q \cdot \frac{q^{\,n} - 1}{q - 1}

Vzorec je súčet $a q^n + a q^{n-1} + \dots + a q$ — súčet geometrickej postupnosti (odvodíš ho pri postupnostiach). Skúška na príklade hore: $1\,000 \cdot 1{,}03 \cdot \frac{1{,}03^3 - 1}{0{,}03} \doteq 3\,183{,}63$ € ✓.

1 200 € na začiatku každého roka, 10 rokov, 3 % p. a.

$S_{10} = 1\,200 \cdot 1{,}03 \cdot \dfrac{1{,}03^{10} - 1}{0{,}03} \doteq$ 14 169,35 €. Vložil si $10 \cdot 1\,200 = 12\,000$ €, úroky sú $2\,169{,}35$ €.

Začiatok alebo koniec roka? Ak vkladáš na konci roka, posledný vklad sa už neúročí a vo vzorci chýba jedno $q$ : $S_n = a \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ . Pri 1 200 € ročne na 10 rokov to dá len $13\,756{,}66$ €. Vždy si prečítaj, kedy sa vkladá.

Inflácia

Inflácia je rast cien — za tie isté veci platíš viac. Udáva sa v percentách za rok. Ceny rastú ako pri zloženom úrokovaní: ak je inflácia $i$ % ročne, cena po $n$ rokoch je

C_n = C_0 \cdot \left(1 + \frac{i}{100}\right)^{n}

Inflácia je priemer — niektoré ceny rastú rýchlejšie, iné pomalšie. V príkladoch rátame, že cena rastie presne o infláciu. Napríklad obed za 5 € pri inflácii 4 % ročne stojí o 3 roky $5 \cdot 1{,}04^3 \doteq 5{,}62$ €. A predplatné mobilu za 10 € mesačne stúpne pri rovnakej inflácii za rok na $10{,}40$ €.

Inflácia 3 % dva roky po sebe nie je 6 %. Ceny sa vynásobia $1{,}03^2 = 1{,}0609$ , teda stúpnu o 6,09 %. A keď inflácia klesne z 5 % na 2 %, ceny neklesajú — stále rastú, len pomalšie.

Kúpna sila a reálny výnos

Kúpna sila hovorí, koľko si za peniaze kúpiš. Budúcu sumu $K$ prepočítaš na dnešné peniaze delením: $\dfrac{K}{(1 + i/100)^n}$ . 1 000 € o 5 rokov pri inflácii 3 % ročne má kúpnu silu dnešných $\dfrac{1\,000}{1{,}03^5} \doteq 862{,}61$ €.

Úrok na účte je nominálny výnos — koľko eur pribudne. Reálny výnos hovorí, o koľko sa zmenila kúpna sila:

\text{reálny výnos} = \frac{1 + \frac{p}{100}}{1 + \frac{i}{100}} - 1 \;\approx\; p - i \ \text{(v percentách)}

Úrok 2 %, inflácia 4 %: $\frac{1{,}02}{1{,}04} - 1 \doteq -0{,}0192$ , teda −1,92 %. Eur máš viac, ale kúpiš si za ne menej. Úrok 5 %, inflácia 3 %: reálne +1,94 %. Ak sa úrok rovná inflácii, kúpna sila sa nemení. Peniaze doma v šuflíku majú úrok 0 % — pri akejkoľvek kladnej inflácii strácajú.

Hra: rastie kúpna sila úspor, klesá, alebo sa nemení?

a) Na začiatku každého z 5 rokov vložíš 600 € pri 2 % p. a. Koľko nasporíš? b) Vložíš 2 000 € na 4 roky pri 3 % p. a., inflácia je 2 % ročne. Akú kúpnu silu v dnešných eurách bude mať výsledná suma?

Ukáž riešenie

a) $S_5 = 600 \cdot 1{,}02 \cdot \dfrac{1{,}02^5 - 1}{0{,}02} \doteq$ 3 184,87 € (vložil si 3 000 €).

b) Stav účtu: $2\,000 \cdot 1{,}03^4 \doteq 2\,251{,}02$ €. V dnešných eurách: $\dfrac{2\,000 \cdot 1{,}03^4}{1{,}02^4} \doteq$ 2 079,59 €. Kúpna sila reálne vzrástla, ale menej, než ukazuje účet.

Teraz ty: chyť správny výsledok.

Zapamätaj si

Pri sporení zúroč každý vklad zvlášť alebo použi $S_n = a \cdot q \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$ (vklady na začiatku roka).
Inflácia sa skladá ako zložené úrokovanie: $C_n = C_0 \cdot \left(1 + \frac{i}{100}\right)^n$ .
Budúcu sumu prepočítaš na dnešnú kúpnu silu delením $(1 + i/100)^n$ .
Reálny výnos $= \dfrac{1 + p/100}{1 + i/100} - 1 \approx p - i$ . Keď je inflácia vyššia ako úrok, úspory strácajú hodnotu.