Jednoduché a zložené úrokovanie

Z letnej brigády ti ostalo 1 000 € a chceš ich odložiť na vodičák a prvé auto. Na sporiacom účte ti ponúknu napríklad 3 % ročne. Koľko tam bude o štyri roky — 1 120 € alebo viac? Záleží na tom, či sa úroky úročia ďalej.

Pojmy

Istina $K_0$ — suma, ktorú vložíš (alebo požičiaš).
Úroková miera $p$ — koľko percent istiny dostaneš za jedno obdobie. Skratka p. a. (per annum) = za rok.
Úrok — odmena v eurách. Pri vklade ho dostávaš ty, pri pôžičke ho platíš ty.
Úrokovacie obdobie — ako často sa úrok pripisuje na účet (ročne, mesačne).
$K_n$ — stav účtu po $n$ obdobiach.

Úrokovú mieru do vzorcov dosadzuj ako desatinné číslo: $3\,\% = \dfrac{3}{100} = 0{,}03$ .

Jednoduché úrokovanie

Úrok sa každý rok počíta z pôvodnej istiny $K_0$ , preto je každý rok rovnaký. Úrok za $n$ rokov a stav účtu:

u = K_0 \cdot \frac{p}{100} \cdot n

K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100} \cdot n\right)

Stav rastie lineárne — každý rok o rovnakú sumu.

1 000 € na 4 roky pri 3 % p. a., jednoduché úrokovanie.

Úrok za rok: $1\,000 \cdot 0{,}03 = 30$ €
Úrok za 4 roky: $u = 1\,000 \cdot 0{,}03 \cdot 4 = 120$ €
Stav: $K_4 = 1\,000 \cdot (1 + 0{,}12) =$ 1 120 €

Zložené úrokovanie

Úrok sa po každom období pripíše k istine a v ďalšom období sa úročí aj on — úroky z úrokov. Každý rok sa stav vynásobí úrokovacím koeficientom $q$ :

q = 1 + \frac{p}{100}

K_n = K_0 \cdot q^{\,n}

Stav rastie exponenciálne — je to exponenciálna funkcia so základom $q > 1$ .

Tých istých 1 000 € na 4 roky pri 3 % p. a., zložené úrokovanie.

$q = 1 + 0{,}03 = 1{,}03$
Rok po roku: $1\,000 \to 1\,030{,}00 \to 1\,060{,}90 \to 1\,092{,}73 \to 1\,125{,}51$ €
Naraz: $K_4 = 1\,000 \cdot 1{,}03^4 \doteq$ 1 125,51 €

Úrok za 4 roky je $125{,}51$ €, o $5{,}51$ € viac ako pri jednoduchom úrokovaní. Za pár rokov je to málo, za desaťročia veľa.

1 000 € pri 5 % p. a.: jednoduché úrokovanie je priamka, zložené exponenciála. Po 20 rokoch je rozdiel 653,30 €.

$q$ nie je $1{,}3$ . Pri 3 % je $q = 1{,}03$ . Kto dosadí $1{,}3$ , vypočíta 30 % ročne: $1\,000 \cdot 1{,}3^4 = 2\,856{,}10$ € — výsledok, ktorý žiadny sporiaci účet nedá. Rovnako pri 2,5 % je $q = 1{,}025$ , nie $1{,}25$ .

Častejšie pripisovanie

Úroková miera je ročná (p. a.), ale úroky sa môžu pripisovať napríklad mesačne. Potom za mesiac dostaneš $\frac{p}{12}$ % a mesiacov je $12n$ :

K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100 \cdot 12}\right)^{12n}

1 000 € pri 3 % p. a. s mesačným pripisovaním má po roku $1\,000 \cdot 1{,}0025^{12} \doteq 1\,030{,}42$ € — o 42 centov viac ako pri ročnom pripisovaní. Čím častejšie sa pripisuje, tým viac (pri rovnakej ročnej miere).

Kedy budem mať…? Logaritmus

Za koľko rokov sa 1 000 € pri 3 % p. a. zdvojnásobí? Hľadáš $n$ v rovnici $1{,}03^{\,n} = 2$ — to je exponenciálna rovnica:

n = \frac{\log 2}{\log 1{,}03} \doteq 23{,}45

Úroky sa pripisujú raz za rok, takže 2 000 € prekročíš až po 24 rokoch.

Pravidlo 72 (odhad z hlavy): peniaze sa pri $p$ % ročne zdvojnásobia približne za $72 : p$ rokov. Pri 3 % je to $72 : 3 = 24$ rokov — presný výpočet dal 23,45. Je to len odhad, na presný výsledok použi logaritmus.

Vyskúšaj si úrok — prepínaj medzi zloženým a jednoduchým úrokovaním a meň roky:

a) Babka ti vloží 3 000 € na 5 rokov pri 2 % p. a. Koľko tam bude pri jednoduchom a koľko pri zloženom úrokovaní? b) Za koľko celých rokov sa vklad zdvojnásobí pri 4 % p. a. (zložené úrokovanie)?

Ukáž riešenie

a) Jednoduché: $3\,000 \cdot (1 + 0{,}02 \cdot 5) = 3\,000 \cdot 1{,}1 =$ 3 300 €. Zložené: $3\,000 \cdot 1{,}02^5 \doteq$ 3 312,24 €.

b) $1{,}04^{\,n} = 2$ , $n = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}04} \doteq 17{,}67$ , teda po 18 rokoch. (Pravidlo 72: $72 : 4 = 18$ .)

Teraz ty: chyť správny výsledok — zlé balóniky sú typické chyby.

Zapamätaj si

Jednoduché úrokovanie: $K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100} \cdot n\right)$ — úrok je každý rok rovnaký, rast je lineárny.
Zložené úrokovanie: $K_n = K_0 \cdot q^{\,n}$ , $q = 1 + \frac{p}{100}$ — úroky sa úročia, rast je exponenciálny.
Pri 3 % je $q = 1{,}03$ , nie $1{,}3$ .
Mesačné pripisovanie: $K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{1\,200}\right)^{12n}$ .
„Za koľko rokov?“ riešiš logaritmom: $n = \dfrac{\log (K_n : K_0)}{\log q}$ , výsledok zaokrúhli nahor na celé obdobia.

Jednoduché a zložené úrokovanie

Pojmy

Jednoduché úrokovanie

Zložené úrokovanie

Častejšie pripisovanie

Kedy budem mať…? Logaritmus

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí