Kružnica opísaná a vpísaná; množiny bodov

Chceš umiestniť router tak, aby bol od troch izieb rovnako ďaleko. Alebo na trojuholníkový trávnik postaviť čo najväčší okrúhly bazén. Obe úlohy sú tá istá geometria: hľadáš bod s presnou vlastnosťou. Matematici tomu hovoria množina bodov danej vlastnosti.

Množiny bodov danej vlastnosti

Množina bodov = všetky body, ktoré spĺňajú podmienku, a žiadne iné.

Vlastnosť bodu $X$	Množina
$\lvert SX \rvert = r$	kružnica $k(S; r)$
$\lvert SX \rvert \le r$	kruh $K(S; r)$
$\lvert AX \rvert = \lvert BX \rvert$	os úsečky $AB$ (kolmica cez jej stred)
vo vnútri uhla rovnako ďaleko od jeho ramien	os uhla (polpriamka, ktorá ho rozpolí)
vzdialenosť $d$ od priamky $p$	dve rovnobežky s $p$ vo vzdialenosti $d$
uhol $AXB = 90°$	Tálesova kružnica nad $AB$ bez bodov $A$ , $B$

Pri konštrukčných úlohách hľadaný bod leží v prieniku dvoch množín — napríklad na osi úsečky a zároveň na kružnici.

Z ihriska: dvaja hráči chcú mať k lopte rovnako ďaleko — lopta musí ležať na osi úsečky medzi nimi. Kosačka-robot, ktorá ide stále 1 m od plotu, kreslí rovnobežku s plotom.

Kružnica opísaná

Kružnica opísaná prechádza všetkými tromi vrcholmi. Jej stred $O$ je od vrcholov rovnako ďaleko, preto leží na osiach všetkých strán:

stred kružnice opísanej = priesečník osí strán.

Kde leží, závisí od najväčšieho uhla:

ostrouhlý trojuholník → stred vnútri,
pravouhlý → stred v strede prepony (Táles), $r = \frac{c}{2}$ ,
tupouhlý → stred mimo trojuholníka.

Router v strede kružnice opísanej je od troch izieb rovnako ďaleko. Ak tvoria izby tupouhlý trojuholník, ten bod je mimo neho — niekedy aj za stenou bytu. Vtedy je lepší stred najdlhšej strany: k najvzdialenejšej izbe je odtiaľ bližšie.

Kružnica vpísaná

Kružnica vpísaná sa dotýka všetkých troch strán. Jej stred $I$ je od strán rovnako ďaleko, preto leží na osiach uhlov:

stred kružnice vpísanej = priesečník osí vnútorných uhlov — vždy vnútri trojuholníka.

Polomer $\rho$ : trojuholník rozdelíš na tri trojuholníky s vrcholom $I$ a výškou $\rho$ . Ich obsahy dajú spolu $S = \frac{\rho a}{2} + \frac{\rho b}{2} + \frac{\rho c}{2} = \frac{\rho \cdot o}{2}$ , teda

\rho = \frac{2S}{o}

o = a + b + c

Trojuholník $13$ , $14$ , $15\,\mathrm{cm}$ : modrá kružnica opísaná so stredom $O$ , zelená kružnica vpísaná so stredom $I$ a polomerom $\rho = 4\,\mathrm{cm}$ .

Bazén do trávnika. Trávnik je trojuholník so stranami $13\,\mathrm{m}$ , $14\,\mathrm{m}$ , $15\,\mathrm{m}$ , výška na stranu $14\,\mathrm{m}$ je $12\,\mathrm{m}$ . Aký polomer má najväčší okrúhly bazén, ktorý sa naň zmestí?

Najväčší kruh v trojuholníku je ohraničený kružnicou vpísanou.
Obsah: $S = \frac{14 \cdot 12}{2}\,\mathrm{m^2} = 84\,\mathrm{m^2}$ , obvod: $o = 13 + 14 + 15 = 42\,\mathrm{m}$
$\rho = \frac{2S}{o} = \frac{2 \cdot 84}{42}\,\mathrm{m} =$ $4\,\mathrm{m}$

Rovnostranný a pravouhlý trojuholník

V rovnostrannom trojuholníku splývajú osi strán, osi uhlov, výšky aj ťažnice, takže oba stredy sú v ťažisku. Ťažisko delí výšku $v = \frac{a\sqrt3}{2}$ v pomere $2 : 1$ :

r = \frac{a\sqrt3}{3}

\rho = \frac{a\sqrt3}{6}

r = 2\rho

V pravouhlom trojuholníku: $r = \frac{c}{2}$ a $\rho = \frac{a + b - c}{2}$ . Odvesny $6$ a $8\,\mathrm{cm}$ , prepona $10\,\mathrm{cm}$ : $r = 5\,\mathrm{cm}$ , $\rho = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2\,\mathrm{cm}$ . Kontrola: $\frac{2S}{o} = \frac{48}{24} = 2\,\mathrm{cm}$ ✓

Nezamieňaj osi. Opísaná ↔ osi strán (rovnako ďaleko od vrcholov). Vpísaná ↔ osi uhlov (rovnako ďaleko od strán). Výšky a ťažnice sa pretínajú v iných bodoch — zhodujú sa len v rovnostrannom trojuholníku.

Ostrý, pravý, či tupý — podľa strán. Ak je $c$ najdlhšia strana: $c^2 < a^2 + b^2$ → ostrouhlý, $c^2 = a^2 + b^2$ → pravouhlý, $c^2 > a^2 + b^2$ → tupouhlý. Strany $2$ , $3$ , $4$ : $16 > 4 + 9 = 13$ , takže tupouhlý.

Rovnostranný trojuholník má stranu $9\,\mathrm{cm}$ . Vypočítaj polomer kružnice opísanej a vpísanej (na dve desatinné miesta).

Ukáž riešenie

$r = \frac{9\sqrt3}{3} = 3\sqrt3 \approx$ $5{,}20\,\mathrm{cm}$ , $\rho = \frac{9\sqrt3}{6} = 1{,}5\sqrt3 \approx$ $2{,}60\,\mathrm{cm}$ . Kontrola: $r = 2\rho$ ✓

Teraz ty: spoj vlastnosť s množinou bodov a potom urči, kde leží stred kružnice opísanej.

Zapamätaj si

Množina bodov = všetky body s danou vlastnosťou; hľadaný bod je v prieniku množín.
Rovnako ďaleko od $A$ a $B$ → os úsečky; rovnako ďaleko od ramien → os uhla.
Stred kružnice opísanej = priesečník osí strán (pri pravouhlom stred prepony, $r = \frac{c}{2}$ ).
Stred kružnice vpísanej = priesečník osí uhlov; $\rho = \frac{2S}{o}$ .
Rovnostranný trojuholník: $r = \frac{a\sqrt3}{3}$ , $\rho = \frac{a\sqrt3}{6}$ .

Kružnica opísaná a vpísaná; množiny bodov

Množiny bodov danej vlastnosti

Kružnica opísaná

Kružnica vpísaná

Rovnostranný a pravouhlý trojuholník

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí