Zhodné zobrazenia: súmernosti, posunutie, otočenie

Na prednej kapote sanitky je nápis napísaný zrkadlovo. Vodič pred ňou ho v spätnom zrkadle prečíta normálne — zrkadlo ho prevráti späť. Vrtuľa ventilátora s tromi lopatkami vyzerá rovnako, keď sa otočí o tretinu kruhu, a pri presune nábytku sa skriňa nezmenší ani neskriví. Všetko sú to zhodné zobrazenia.

Čo je zhodné zobrazenie

Zobrazenie priradí každému bodu $X$ roviny jeho obraz $X'$ . Zhodné zobrazenie zachováva vzdialenosti:

\lvert X'Y' \rvert = \lvert XY \rvert \quad \text{pre všetky body } X, Y

Preto je obraz útvaru zhodný útvar — rovnaké dĺžky, rovnaké uhly, rovnaký obsah. Bod, ktorý sa zobrazí sám na seba ( $X' = X$ ), je samodružný.

Poznáš štyri zhodné zobrazenia (a identitu, ktorá nechá všetko na mieste):

Zobrazenie	Ako nájdeš obraz $X'$	Samodružné body
osová súmernosť (os $o$ )	$XX' \perp o$ a $o$ prechádza stredom $XX'$	body osi $o$
stredová súmernosť (stred $S$ )	$S$ je stred úsečky $XX'$	len $S$
posunutie o vektor $\vec u$	$\overrightarrow{XX'} = \vec u$	žiadne (ak $\vec u \ne \vec 0$ )
otočenie (stred $S$ , uhol $\varphi$ )	$\lvert SX' \rvert = \lvert SX \rvert$ a uhol $XSX' = \varphi$	len $S$ (ak $\varphi$ nie je násobok $360°$ )

Kladný uhol otočenia znamená otáčanie proti smeru hodinových ručičiek.

Súmernosti v súradniciach

Trojuholník $A[1; 1]$ , $B[4; 1]$ , $C[2; 3]$ (modrý), jeho obraz v osovej súmernosti podľa osi $y$ (oranžový) a v stredovej súmernosti so stredom $O[0; 0]$ (zelený).

Zobrazenie	$X[x; y] \mapsto X'$
osová súmernosť podľa osi $x$	$[x; -y]$
osová súmernosť podľa osi $y$	$[-x; y]$
stredová súmernosť podľa $O[0; 0]$	$[-x; -y]$
posunutie o $\vec u = (u_1; u_2)$	$[x + u_1; y + u_2]$
otočenie okolo $O$ o $90°$ (proti smeru hod. ručičiek)	$[-y; x]$

Bod $A[3; -2]$ a jeho obrazy:

osová podľa osi $x$ : $[3; 2]$ , podľa osi $y$ : $[-3; -2]$
stredová podľa $O$ : $[-3; 2]$
posunutie o $\vec u = (-1; 4)$ : $[3 - 1; -2 + 4] =$ $[2; 2]$
otočenie okolo $O$ o $90°$ : $[-y; x] = [-(-2); 3] =$ $[2; 3]$

Pozor na znamienka. Podľa osi $x$ sa mení len $y$ , podľa osi $y$ len $x$ . Stredová súmernosť podľa $O$ mení obe znamienka — je to to isté ako otočenie o $180°$ alebo ako osová súmernosť podľa osi $x$ a potom podľa osi $y$ .

Orientácia a súmerné útvary

Posunutie, otočenie a stredová súmernosť zachovajú poradie vrcholov (napr. $A \to B \to C$ proti smeru hodinových ručičiek) — sú to priame zhodné zobrazenia. Osová súmernosť ho obráti, robí „zrkadlový“ obraz — je nepriama. Preto je nápis na sanitke čitateľný až v zrkadle.

Útvar je osovo súmerný, ak ho nejaká osová súmernosť zobrazí na seba; stredovo súmerný, ak to urobí stredová súmernosť.

štvorec: 4 osi a stred súmernosti; obdĺžnik a kosoštvorec: 2 osi a stred,
rovnobežník (nie obdĺžnik, nie kosoštvorec): len stred, žiadna os,
rovnostranný trojuholník: 3 osi, stred súmernosti nemá; kruh: nekonečne veľa osí aj stred.

Pravidelný $n$ -uholník zobrazí na seba aj otočenie o $\frac{360°}{n}$ : snehová vločka o $60°$ , vrtuľa s tromi lopatkami o $120°$ .

Dve súmernosti za sebou. Dve osové súmernosti s rovnobežnými osami vzdialenými $d$ dajú posunutie o $2d$ (osi 3 cm od seba → posunutie o 6 cm). S rôznobežnými osami, ktoré zvierajú uhol $\alpha$ , dajú otočenie okolo ich priesečníka o $2\alpha$ (uhol $40°$ → otočenie o $80°$ ). Vyskúšaj s dvoma zrkadlami.

Bod $X$ je vzdialený $5\,\mathrm{cm}$ od stredu otočenia $S$ . Otočíš ho o $90°$ . Ako ďaleko je obraz $X'$ od pôvodného bodu $X$ ?

Ukáž riešenie

Trojuholník $XSX'$ je pravouhlý a rovnoramenný ( $\lvert SX \rvert = \lvert SX' \rvert = 5\,\mathrm{cm}$ , uhol pri $S$ je $90°$ ): $\lvert XX' \rvert = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt2 \approx$ $7{,}07\,\mathrm{cm}$ .

Teraz ty: roztrieď útvary podľa súmernosti a potom chyť správny obraz bodu.

Zapamätaj si

Zhodné zobrazenie zachováva vzdialenosti, obraz útvaru je s ním zhodný.
Osová súmernosť: os je kolmá na $XX'$ a prechádza jej stredom; stredová: $S$ je stred $XX'$ (= otočenie o $180°$ ).
Posunutie: $X' = [x + u_1; y + u_2]$ ; otočenie: $\lvert SX' \rvert = \lvert SX \rvert$ , uhol $XSX' = \varphi$ .
Osová súmernosť mení orientáciu (zrkadlo), posunutie, otočenie a stredová súmernosť nie.
Pravidelný $n$ -uholník sa zobrazí na seba otočením o $\frac{360°}{n}$ .

Zhodné zobrazenia: súmernosti, posunutie, otočenie

Čo je zhodné zobrazenie

Súmernosti v súradniciach

Orientácia a súmerné útvary

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí