Podobnosť a rovnoľahlosť

Strom v parku vrhá tieň 12 m. Tvoja palica dlhá 1,5 m vrhá v tej istej chvíli tieň 2 m. Bez rebríka a bez lezenia vieš povedať, aký vysoký je strom. Stačí jedna myšlienka: dva trojuholníky s rovnakými uhlami sú podobné. Tá istá myšlienka je za mierkou mapy aj za zväčšovaním fotiek.

Podobnosť a pomer podobnosti

Dva útvary sú podobné, ak má jeden všetky dĺžky $k$ -krát väčšie (alebo menšie) ako druhý. Číslo $k > 0$ je pomer podobnosti.

Čo	Ako sa zmení
každá dĺžka (strana, výška, polomer)	$k$ -krát
obvod	$k$ -krát
obsah	$k^2$ -krát
uhly	nezmenia sa

Pri $k = 1$ sú útvary zhodné. Podobné sú napríklad dve fotky s rovnakým pomerom strán ( $10 \times 15$ a $20 \times 30\,\mathrm{cm}$ , ale nie $10 \times 15$ a $13 \times 18\,\mathrm{cm}$ ) alebo mapa a krajina.

Fotka. Fotku $10 \times 15\,\mathrm{cm}$ zväčšíš na $20 \times 30\,\mathrm{cm}$ . Koľkokrát viac papiera minieš?

Pomer podobnosti: $k = 20 : 10 = 2$
Obsahy: $10 \cdot 15 = 150\,\mathrm{cm^2}$ a $20 \cdot 30 = 600\,\mathrm{cm^2}$
$600 : 150 = 4 = k^2$ — štyrikrát viac, nie dvakrát.

Podobnosť trojuholníkov

Pri trojuholníkoch nemusíš merať všetko. Stačí jedna z viet:

sss — všetky tri pomery zodpovedajúcich strán sú rovnaké,
sus — dve strany sú v rovnakom pomere a uhly nimi zovreté sú zhodné,
uu — dva uhly sú zhodné (tretí je potom tiež, súčet je $180°$ ).

Zápis $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ znamená, že si zodpovedajú vrcholy v tomto poradí.

Výška stromu. Slnečné lúče sú rovnobežné, preto zvierajú so zemou rovnaký uhol pri palici aj pri strome. Palica aj strom stoja kolmo. Trojuholníky „palica – tieň“ a „strom – tieň“ sú podobné podľa uu.

Pomer výška : tieň je rovnaký: $\frac{h}{12\,\mathrm{m}} = \frac{1{,}5\,\mathrm{m}}{2\,\mathrm{m}}$
$h = 12\,\mathrm{m} \cdot \frac{1{,}5}{2} =$ $9\,\mathrm{m}$

Obsah sa nenásobí $k$ , ale $k^2$ . Mierka mapy $1 : 25\,000$ znamená $k = 25\,000$ pre dĺžky: $6\,\mathrm{cm}$ na mape je $6 \cdot 25\,000 = 150\,000\,\mathrm{cm} = 1{,}5\,\mathrm{km}$ . Ale pole s plochou $4\,\mathrm{cm^2}$ na mape má v skutočnosti $4 \cdot 25\,000^2\,\mathrm{cm^2} = 250\,000\,\mathrm{m^2} = 25\,\mathrm{ha}$ — nie $100\,000\,\mathrm{cm^2}$ .

Rovnoľahlosť

Rovnoľahlosť so stredom $S$ a koeficientom $\kappa \ne 0$ zobrazí bod $X$ na bod $X'$ tak, že

\overrightarrow{SX'} = \kappa \cdot \overrightarrow{SX}

$\kappa > 0$ : $X'$ leží na polpriamke $SX$ (na tej istej strane od $S$ ),
$\kappa < 0$ : $X'$ leží na opačnej polpriamke,
$\lvert \kappa \rvert > 1$ zväčšuje, $\lvert \kappa \rvert < 1$ zmenšuje; $\kappa = -1$ je stredová súmernosť.

Vždy platí $\lvert SX' \rvert = \lvert \kappa \rvert \cdot \lvert SX \rvert$ . Priamka sa zobrazí na rovnobežnú priamku (alebo na seba, ak prechádza stredom $S$ ), uhly ostanú. Obraz je preto podobný útvar s pomerom $k = \lvert \kappa \rvert$ .

Rovnoľahlosť so stredom $S$ a koeficientom $\kappa = 2$ : každý vrchol obrazu je dvakrát ďalej od $S$ ako pôvodný, strany $A'B'C'$ sú rovnobežné so stranami $ABC$ a dvakrát dlhšie.

Tieň z lampy je rovnoľahlý obraz. Bodové svetlo je stred $S$ . Papierový trojuholník držíš rovnobežne so stenou $1\,\mathrm{m}$ od lampy, stena je $3\,\mathrm{m}$ od lampy. Tieň je rovnoľahlý obraz s $\kappa = 3 : 1 = 3$ — strana $10\,\mathrm{cm}$ má tieň $30\,\mathrm{cm}$ .

Dva podobné trojuholníky majú obvody $15\,\mathrm{cm}$ a $45\,\mathrm{cm}$ . Menší má obsah $12\,\mathrm{cm^2}$ . Aký obsah má väčší?

Ukáž riešenie

Obvod sa mení $k$ -krát: $k = 45 : 15 = 3$ . Obsah sa mení $k^2$ -krát: $12 \cdot 3^2 = 12 \cdot 9 =$ $108\,\mathrm{cm^2}$ .

Teraz ty: chyť správny výsledok — pomer podobnosti, mierka, tieň aj rovnoľahlosť.

Zapamätaj si

Podobné útvary: dĺžky aj obvod $k$ -krát, obsah $k^2$ -krát, uhly rovnaké.
Trojuholníky sú podobné podľa vety sss, sus alebo uu.
Rovnoľahlosť: $\overrightarrow{SX'} = \kappa \cdot \overrightarrow{SX}$ , $\lvert SX' \rvert = \lvert \kappa \rvert \cdot \lvert SX \rvert$ ; pri $\kappa < 0$ je obraz na opačnej strane od $S$ .
Rovnoľahlosť je podobnosť s pomerom $k = \lvert \kappa \rvert$ ; $\kappa = -1$ je stredová súmernosť.

Podobnosť a rovnoľahlosť

Podobnosť a pomer podobnosti

Podobnosť trojuholníkov

Rovnoľahlosť

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí