Pravdepodobnosť v praxi: lotéria, testy, hry

„Niekto to vyhrať musí!“ Nemusí — v mnohých žrebovaniach hlavnú výhru netrafí nikto. A koľko tiketov stojí za jedným víťazom? A dá sa urobiť test s možnosťami a–d len tipovaním? V tejto lekcii použiješ všetko z celku na situácie, kde ide o peniaze, známky a hry.

Lotéria 6 z 49

V lotérii „6 z 49“ sa žrebuje 6 čísel zo 49 a ty vopred tipuješ 6 čísel. Poradie nerozhoduje, takže všetkých možných tiketov je

|\Omega| = \binom{49}{6} = 13\,983\,816

Šestku trafí jediný z nich: $P(6) = \dfrac{1}{13\,983\,816} \approx 0{,}000\,000\,07$ .

Pre práve $k$ uhádnutých vyber $k$ čísel zo 6 vyžrebovaných a zvyšok zo 43 nevyžrebovaných:

P(k) = \frac{\binom{6}{k} \cdot \binom{43}{6 - k}}{\binom{49}{6}}

Aká je pravdepodobnosť, že uhádneš práve 3 čísla?

Tri zo 6 vyžrebovaných: $\binom{6}{3} = 20$
Tri zo 43 nevyžrebovaných: $\binom{43}{3} = 12\,341$
$P(3) = \dfrac{20 \cdot 12\,341}{13\,983\,816} = \dfrac{246\,820}{13\,983\,816} \approx 0{,}0177$

Asi 1,8 %, teda zhruba jeden tiket z 57.

uhádnutých	6	5	4	3	0
počet tiketov	1	258	13 545	246 820	6 096 454
pravdepodobnosť	≈ 0,000 000 07	≈ 0,000 018	≈ 0,001	≈ 0,018	≈ 0,436

Ak by si podával jeden tiket každý týždeň 50 rokov (2 600 tiketov), šestku aspoň raz trafíš s pravdepodobnosťou $1 - \left(1 - \frac{1}{13\,983\,816}\right)^{2600} \approx 0{,}000\,19$ , teda asi 0,02 %.

„Šťastné“ čísla neexistujú. Tiket 1, 2, 3, 4, 5, 6 má presne tú istú pravdepodobnosť ako tiket, ktorý „vyzerá náhodne“: $\frac{1}{13\,983\,816}$ . Žrebovanie si nepamätá ani minulé ťahy — čísla, ktoré „dlho nepadli“, nie sú na rade.

Tipovanie testu

Test má 5 otázok, každá má 4 možnosti a–d, správna je jedna. Ak len tipuješ, je to 5 nezávislých pokusov s $p = \frac{1}{4}$ .

Všetkých 5 správne: $\left(\frac{1}{4}\right)^5 = \frac{1}{1024} \approx 0{,}001$ .
Aspoň 4 správne: $\binom{5}{4} \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \frac{3}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^5 = \frac{15}{1024} + \frac{1}{1024} = \frac{1}{64} \approx 0{,}016$ .

Na dobrú známku tipovanie nestačí. Keď však vieš vylúčiť dve zlé možnosti, $p$ stúpne z $\frac{1}{4}$ na $\frac{1}{2}$ — preto sa oplatí rozmýšľať aj nad otázkou, ktorú nevieš celú.

Geometrická pravdepodobnosť

Niekedy je výsledkov nekonečne veľa — bod na terči, okamih príchodu na zastávku. Ak je každé miesto rovnako možné, pravdepodobnosť je pomer mier (dĺžok, obsahov, uhlov):

P(A) = \frac{\text{miera } A}{\text{miera } \Omega}

Terč: stred má polomer 4 cm, celý terč 20 cm. Kolo: 8 rovnakých výsekov, výherný je jeden.

Terč: šípka náhodne zasiahne terč. Zásah do stredu: $P = \dfrac{\pi \cdot 4^2}{\pi \cdot 20^2} = \dfrac{16}{400} = 0{,}04$ . Obsahy rastú s druhou mocninou polomeru, preto to nie je $\frac{4}{20} = 0{,}2$ .
Kolo šťastia: výherný výsek má 45°. $P = \dfrac{45°}{360°} = \dfrac{1}{8}$ .
Zastávka: autobus chodí presne každých 12 minút (bez meškania) a ty prídeš v náhodnom okamihu. Čakáš najviac 3 minúty: $P = \dfrac{3}{12} = 0{,}25$ (pomer dĺžok časových úsekov).

Kedy to platí. Geometrická pravdepodobnosť predpokladá, že každý bod je rovnako možný. Šípkar, ktorý mieri do stredu, trafí stred oveľa častejšie ako 4 % — ten výpočet platí pre úplne náhodný zásah.

Hra: ktorý typ pravdepodobnosti použiješ?

Kolo šťastia má výherné výseky s uhlami 60°, 60° a 30°, zvyšok je bez výhry. Aká je pravdepodobnosť výhry?

Ukáž riešenie

Výseky sú nezlučiteľné, uhly sčítaš: $60° + 60° + 30° = 150°$ . $P = \dfrac{150}{360} = \dfrac{5}{12} \approx$ 0,417.

Teraz ty: chyť správnu odpoveď.

Zapamätaj si

Lotéria $k$ z $n$ : všetkých tiketov je $\binom{n}{k}$ ; v 6 z 49 je to 13 983 816.
Práve $k$ uhádnutých v 6 z 49: $\dfrac{\binom{6}{k}\binom{43}{6-k}}{\binom{49}{6}}$ .
Tipovanie testu = opakované pokusy s $p = \frac{1}{\text{počet možností}}$ .
Geometrická pravdepodobnosť: $P(A) = \dfrac{\text{miera } A}{\text{miera } \Omega}$ (dĺžka, obsah, uhol).
Pri terči rozhoduje pomer obsahov, teda druhá mocnina pomeru polomerov.

Pravdepodobnosť v praxi: lotéria, testy, hry

Lotéria 6 z 49

Tipovanie testu

Geometrická pravdepodobnosť

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí