Matematika · 3. ročník SŠ › Analytická geometria priamky › ťahák

Tip: v tlači nastav „mierka 70–80 %“ a bude z toho ťahák do peračníka.

Ťahák ti pomôže dvakrát. Keď si ho prepíšeš rukou, veľa si zapamätáš už pri písaní. Ale hlavne: vedz, že existuje, a vedz ho používať. Pri úlohe si povedz „ktorý vzorec z ťaháku sa sem hodí?“, nájdi ho, dosaď a skontroluj jednotky. Kto vie, kde čo nájde, vyrieši úlohu aj pod stresom.

📄 Ťahák — Analytická geometria priamky

Tri tvary rovnice priamky

Tvar	Zápis	Čo z neho vyčítaš
parametrický	$x = a_1 + t\,u_1$ , $y = a_2 + t\,u_2$ , $t \in \mathbb{R}$	bod $A[a_1;\ a_2]$ , smerový $\vec u = (u_1;\ u_2)$
všeobecný	$ax + by + c = 0$	normálový $\vec n = (a;\ b)$ , smerový $(-b;\ a)$
smernicový	$y = kx + q$	smernica $k$ , priesečník s osou $y$ $[0;\ q]$

Z dvoch bodov: $\vec u = B - A$ · stred úsečky pre $t = \tfrac12$ · úsečka $t \in \langle 0;\ 1 \rangle$ , polpriamka $t \ge 0$
Z bodu a $\vec n$ : napíš $ax + by + c = 0$ , $c$ dopočítaj dosadením bodu

k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{u_2}{u_1} = \operatorname{tg}\varphi

y - y_0 = k\,(x - x_0)

Zvislá priamka $x =$ konšt. nemá smernicový tvar · stúpanie 8 % = $k = 0{,}08$

Vzájomná poloha dvoch priamok

$\vec n_1$ , $\vec n_2$	celé rovnice	poloha
nie sú násobky	—	rôznobežné (priesečník zo sústavy)
násobky	nie sú násobky	rovnobežné rôzne
násobky	násobky	totožné

Odchýlka, kolmosť, vzdialenosť

\cos\varphi = \frac{|\vec u \cdot \vec v|}{|\vec u|\cdot|\vec v|},\ \varphi \in \langle 0^\circ;\ 90^\circ \rangle

d(M,\ p) = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Kolmé: $\vec u \cdot \vec v = 0$ , resp. $k_1 \cdot k_2 = -1$ · rovnobežné: $k_1 = k_2$
Rovnobežky s rovnakými $a$ , $b$ : $d = \dfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
Obsah trojuholníka: $S = \tfrac12 |AB| \cdot d(C,\ AB)$

Pozor

⚠️ $(a;\ b)$ z rovnice je normálový (kolmý), nie smerový vektor.
⚠️ Bod leží na priamke, len ak jedno $t$ sedí v oboch súradniciach.
⚠️ Odchýlka je najviac $90^\circ$ — v čitateli absolútna hodnota.
⚠️ Vo vzdialenosti $|\dots|$ a $\sqrt{a^2 + b^2}$ , nie $a + b$ .

Zvládnem · zvladnem.sk · 16.10.2026