Matematika · 4. ročník SŠ › Limita a derivácia › ťahák

Tip: v tlači nastav „mierka 70–80 %“ a bude z toho ťahák do peračníka.

Ťahák ti pomôže dvakrát. Keď si ho prepíšeš rukou, veľa si zapamätáš už pri písaní. Ale hlavne: vedz, že existuje, a vedz ho používať. Pri úlohe si povedz „ktorý vzorec z ťaháku sa sem hodí?“, nájdi ho, dosaď a skontroluj jednotky. Kto vie, kde čo nájde, vyrieši úlohu aj pod stresom.

📄 Ťahák — Limita a derivácia

Limita

Postupnosť: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ · $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 0$ pre $|q| \lt 1$
Podiel polynómov: vydeľ najvyššou mocninou → rovnaký stupeň = pomer vedúcich koeficientov, vyšší v menovateli = $0$ , vyšší v čitateli = $\infty$ alebo $-\infty$ (podľa znamienok)
Funkcia: spojitá → dosaď · $\frac{0}{0}$ → rozlož a skráť
Spojitá v $a$ : $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$

Derivácia

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)

$f'(x_0)$ = smernica dotyčnice · $v = s'(t)$ , $a = v'(t)$ , $i = q'(t)$

$f$	$c$	$x^n$	$\sqrt{x}$	$\sin x$	$\cos x$	$e^x$	$\ln x$
$f'$	$0$	$nx^{n-1}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$\cos x$	$-\sin x$	$e^x$	$\frac{1}{x}$

(fg)' = f'g + fg'

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Priebeh a optimalizácia

$f' \gt 0$ rastie · $f' \lt 0$ klesá · $f'(x_0) = 0$ stacionárny bod
$f'$ : $+ \to -$ maximum · $- \to +$ minimum (alebo $f'' \lt 0$ max, $f'' \gt 0$ min)
Na $\langle a;\ b\rangle$ porovnaj stacionárne body aj kraje
Úloha: veličina → väzba → 1 premenná → obor → $f' = 0$ → over → odpoveď
Ohrada pri stene $x = \frac{L}{4}$ · plechovka $h = 2r$ · výkon $R = R_i$

Pozor

⚠️ $\frac{0}{0}$ nie je výsledok — uprav výraz.
⚠️ $(fg)' \ne f'g'$ ; pri zloženej nezabudni na deriváciu vnútra.
⚠️ $f'(x_0) = 0$ ešte nie je extrém ( $x^3$ v nule).
⚠️ $\sin$ , $\cos$ derivuj len v radiánoch.

Zvládnem · zvladnem.sk · 16.10.2026