Zlomky a desatinné čísla, periodické čísla

Traja kamaráti si chcú spravodlivo rozdeliť 10 €. Kalkulačka ukáže $3{,}3333333$ — a trojky by pokračovali donekonečna. Prečo $\frac{1}{4}$ hodiny je pekných 0,25 hodiny, ale $\frac{1}{3}$ sa nikdy „nedopočíta“? Dnes prepojíš zlomky s desatinnými číslami zo 6. ročníka.

Desatinné číslo → zlomok

Desatinné číslo je vlastne desatinný zlomok — zlomok s menovateľom 10, 100, 1 000…

jedno desatinné miesto = desatiny: $0{,}7 = \frac{7}{10}$
dve miesta = stotiny: $0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
tri miesta = tisíciny: $0{,}125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

Postup: zapíš ako desatinný zlomok a vykráť. Fľaša 0,5 l je $\frac{1}{2}$ litra, batéria na 0,75 je na $\frac{3}{4}$ .

Zlomok → desatinné číslo

Dve cesty:

Rozšír na menovateľ 10, 100 alebo 1 000: $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0{,}6$ , $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0{,}75$ .
Vydeľ čitateľa menovateľom (zlomková čiara = delenie): $\frac{7}{8} = 7 : 8 = 0{,}875$ .

Na osi od 0 do 1: jedna štvrtina je 0,25, polovica 0,5, tri štvrtiny 0,75. Jedna tretina leží kúsok za 0,3 — presne na 0,333… s trojkami donekonečna.

Teraz ty: priraď k zlomku jeho desatinné číslo.

Periodické čísla

Pri delení $1 : 3$ ostáva stále zvyšok 1, preto sa trojka opakuje bez konca. Takéto číslo je periodické, opakujúca sa časť je perióda a píšeme nad ňu pruh:

\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}

\frac{2}{3} = 0{,}\overline{6}

\frac{1}{6} = 0{,}1\overline{6}

\frac{1}{11} = 0{,}\overline{09}

Pri $\frac{1}{6} = 0{,}1666\ldots$ sa opakuje len šestka, jednotka pred ňou nie — preto je pruh len nad 6.

Rýchly test: vykráť zlomok na základný tvar a rozlož menovateľ na súčin prvočísel. Ak sú v ňom len dvojky a päťky, desatinné číslo je ukončené ( $\frac{7}{40}$ : $40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ , teda $0{,}175$ ). Ak je tam iné prvočíslo (3, 7, 11…), číslo je periodické.

$0{,}3$ nie je $\frac{1}{3}$ . $0{,}3 = \frac{3}{10}$ a to je menej ako $\frac{1}{3}$ . Aj $0{,}33$ je stále menej — presne je to až $0{,}\overline{3}$ . Preto keď si traja delia 10 €, v minciach to presne nejde: dvaja dostanú 3,33 € a jeden 3,34 €.

Overenie v kalkulačke: napíš desatinné číslo, druhé nechaj 1 a zvoľ násobenie (hodnotu nemení) — kalkulačka ho prepíše na zlomok a vykráti.

a) Zapíš 0,45 ako zlomok v základnom tvare. b) Zapíš $\frac{5}{8}$ desatinným číslom. c) Zapíš $\frac{5}{9}$ desatinným číslom. d) Koľko minút je $0{,}\overline{3}$ hodiny?

Ukáž riešenie

a) $\frac{45}{100} =$ $\frac{9}{20}$ (krátime 5) b) $5 : 8 =$ 0,625 c) $5 : 9 = 0{,}555\ldots =$ $0{,}\overline{5}$ d) $0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}$ a $\frac{1}{3}$ z 60 min je 20 min

Na záver si zopakuj sčítanie a odčítanie zlomkov — výsledok môžeš písať aj desatinne (0,75):

Zapamätaj si

Desatinné číslo → zlomok: zapíš s menovateľom 10, 100, 1 000 a vykráť, $0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ .
Zlomok → desatinné číslo: rozšír na 10, 100, 1 000 alebo vydeľ čitateľa menovateľom, $\frac{7}{8} = 0{,}875$ .
Periodické číslo má cifry opakujúce sa donekonečna, periódu píšeme s pruhom: $\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}$ .
Zlomok v základnom tvare s menovateľom len z dvojok a päťok dá ukončené desatinné číslo, inak periodické.

Zlomky a desatinné čísla, periodické čísla

Desatinné číslo → zlomok

Zlomok → desatinné číslo

Periodické čísla

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí