Obsah a obvod trojuholníka

Chystáš oslavu a chceš ušiť girlandu z trojuholníkových vlajočiek. Koľko látky na ne padne? Vzorec pre trojuholník možno poznáš z nižších ročníkov — teraz uvidíš, prečo platí, a naučíš sa nájsť výšku aj v „škaredom“ trojuholníku.

Trojuholník = polovica rovnobežníka

Vezmi dva rovnaké trojuholníky. Jeden otoč a prilož ho k druhému — vznikne rovnobežník so stranou $a$ a výškou $v_a$ . Trojuholník má teda polovičný obsah:

Modrý a oranžový trojuholník sú rovnaké a spolu tvoria rovnobežník so stranou $a$ a výškou $v_a$ .

S = \frac{a \cdot v_a}{2} = \frac{b \cdot v_b}{2} = \frac{c \cdot v_c}{2}

Každá strana má svoju výšku — kolmicu z protiľahlého vrcholu. Použiť môžeš ktorúkoľvek dvojicu, len strana a výška musia k sebe patriť.

Kde je výška?

V ostrouhlom trojuholníku je výška vnútri, v pravouhlom je ňou odvesna, v tupouhlom padne mimo — na predĺženie strany $a$ .

Ostrouhlý: výška je vnútri trojuholníka.
Pravouhlý: odvesny sú na seba kolmé, takže jedna je výškou na druhú. Obsah je $S = \frac{a \cdot b}{2}$ , kde $a$ , $b$ sú odvesny.
Tupouhlý: výška na stranu $a$ padne mimo trojuholníka, na jej predĺženie. Vzorec platí bez zmeny.

$S = \frac{a \cdot b}{2}$ platí len pre odvesny pravouhlého trojuholníka. Pre iné dve strany treba výšku — šikmá strana nie je výška.

Obvod trojuholníka je súčet strán: $o = a + b + c$ .

Príklady zo života

Každá vlajočka má hornú stranu 20 cm a výšku 30 cm.

Girlanda: 12 vlajočiek, každá $a = 20$ cm, $v_a = 30$ cm.

Jedna vlajočka: $S = \frac{20 \cdot 30}{2} =$ 300 cm²

Celá girlanda: $12 \cdot 300 = 3\,600$ cm² $=$ 0,36 m² látky (bez okrajov na šitie).

Vlajka rozdelená uhlopriečkou: obdĺžniková vlajka 150 cm × 100 cm je uhlopriečkou rozdelená na dva farebné trojuholníky. Každý je pravouhlý s odvesnami 150 cm a 100 cm:

$S = \frac{150 \cdot 100}{2} =$ 7 500 cm² — presne polovica vlajky.

Štít chatky: trojuholník nad stenou má základňu 4 m a výšku 1,5 m.

$S = \frac{4 \cdot 1{,}5}{2} =$ 3 m². Predný a zadný štít spolu $2 \cdot 3 =$ 6 m² na natretie.

a) Trojuholník má $a = 9$ cm a $v_a = 4$ cm. Aký má obsah?

b) Pravouhlý trojuholník má odvesny 6 cm a 8 cm a preponu 10 cm. Vypočítaj obsah aj obvod.

c) Trojuholník má obsah 30 cm² a stranu $a = 12$ cm. Aká je výška $v_a$ ?

Ukáž riešenie

a) $S = \frac{9 \cdot 4}{2} =$ 18 cm²

b) $S = \frac{6 \cdot 8}{2} =$ 24 cm², $o = 6 + 8 + 10 =$ 24 cm (rovnaké číslo, ale iné jednotky!)

c) Z $S = \frac{a \cdot v_a}{2}$ je $v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 30}{12} =$ 5 cm

Teraz ty — štvorce, obdĺžniky aj trojuholníky na striedačku:

Zapamätaj si

Trojuholník je polovica rovnobežníka: $S = \frac{a \cdot v_a}{2}$ .
Strana a výška musia k sebe patriť; výška je kolmica z protiľahlého vrcholu.
Pravouhlý trojuholník: $S = \frac{a \cdot b}{2}$ , kde $a$ , $b$ sú odvesny.
V tupouhlom trojuholníku môže výška padnúť mimo — na predĺženie strany.
Obvod: $o = a + b + c$ .