Výška, obvod a obsah rovnobežníka

Mesto chce natrieť šikmé parkovacie miesta pre elektromobily na zeleno. Koľko farby treba na jedno miesto? Pri obdĺžniku by si vynásobil dve strany. Pri šikmom mieste by ti to vyšlo zle — a v tejto lekcii zistíš prečo.

Výška rovnobežníka

Výška rovnobežníka je vzdialenosť dvoch rovnobežných strán. Meria sa kolmo — ako šírka cesty, ktorú tiež nemeriaš šikmo, ale priamo naprieč.

$v_a$ je výška na stranu $a$ (vzdialenosť strán $a$ ),
$v_b$ je výška na stranu $b$ (vzdialenosť strán $b$ ).

Výška nemusí vychádzať z vrcholu a niekedy padne až na predĺženie strany. Dôležité je jediné: je kolmá na stranu.

Obsah: odstrihni a prilož

Z rovnobežníka odstrihni pravouhlý trojuholník pri výške a prilož ho na druhú stranu. Vznikne obdĺžnik so stranami $a$ a $v_a$ — a obsah sa nezmenil, nič neubudlo ani nepribudlo.

Odstrihnutý oranžový trojuholník sa presunie doprava a z rovnobežníka je obdĺžnik $a \times v_a$ .

S = a \cdot v_a = b \cdot v_b

Strana a výška k nej musia byť vždy v rovnakých jednotkách a výsledok je v jednotkách obsahu (cm², m²).

Obsah rovnobežníka nie je $a \cdot b$ . Zober rámik z dvoch paličiek 10 cm a dvoch 6 cm, spojených v rohoch kĺbmi. Ako obdĺžnik má obsah $10 \cdot 6 = 60$ cm². Keď ho zošikmíš na 30°, výška klesne na 3 cm a obsah na $10 \cdot 3 = 30$ cm². Strany sa nezmenili — zmenila sa výška.

Ten istý rámik: obvod ostal 32 cm, obsah klesol zo 60 cm² na 30 cm². Obrázok je v mierke.

Obvod

Rovnobežník má dve strany $a$ a dve strany $b$ :

o = 2 \cdot (a + b) = 2a + 2b

Rámik vyššie má stále $o = 2 \cdot (10 + 6) = 32$ cm, nech ho zošikmíš akokoľvek. Obvod závisí len od strán, obsah aj od výšky.

Príklady zo života

Šikmé parkovacie miesto: $a = 3$ m pri obrubníku, $b = 5$ m, $v_a = 4{,}5$ m, $v_b = 2{,}7$ m. Obrázok je v mierke.

Parkovacie miesto: $a = 3$ m, $v_a = 4{,}5$ m, $b = 5$ m.

$S = a \cdot v_a = 3 \cdot 4{,}5 =$ 13,5 m²

Kontrola cez druhú stranu: $S = b \cdot v_b = 5 \cdot 2{,}7 = 13{,}5$ m² ✓

Farba vydá 1 liter na 5 m²: $13{,}5 : 5 = 2{,}7$ l, takže treba kúpiť 3 litre.

Obvod (keby si miesto obtiahol páskou): $o = 2 \cdot (3 + 5) =$ 16 m.

(Keby si počítal $3 \cdot 5 = 15$ m², vyšlo by ti viac, než miesto naozaj má.)

Dlažba v tvare kosoštvorca: strana $a = 10$ cm, výška $v_a = 8$ cm.

$S = 10 \cdot 8 =$ 80 cm², $o = 4 \cdot 10 =$ 40 cm

Na 1 m² = 10 000 cm² treba (bez škár) $10\,000 : 80 =$ 125 dlaždíc.

a) Rovnobežník má $a = 12$ cm a $v_a = 5$ cm. Aký má obsah?

b) Rovnobežník má $a = 8$ cm, $b = 6$ cm a $v_a = 4{,}5$ cm. Vypočítaj obvod, obsah a výšku $v_b$ .

c) Nálepka v tvare rovnobežníka má obsah 48 cm² a stranu $a = 8$ cm. Aká je výška $v_a$ ?

Ukáž riešenie

a) $S = 12 \cdot 5 =$ 60 cm²

b) $o = 2 \cdot (8 + 6) =$ 28 cm, $S = 8 \cdot 4{,}5 =$ 36 cm², $v_b = S : b = 36 : 6 =$ 6 cm

c) Zo vzorca $S = a \cdot v_a$ vyjadríš $v_a = S : a = 48 : 8 =$ 6 cm

Obdĺžnik je tiež rovnobežník (jeho výška $v_a$ je rovno strana $b$ ). Rozcvič sa na ňom a na štvorci:

Zapamätaj si

Výška rovnobežníka je kolmá vzdialenosť rovnobežných strán.
Obsah: $S = a \cdot v_a = b \cdot v_b$ — strana krát výška na ňu.
Obsah nie je $a \cdot b$ (to platí len pre obdĺžnik a štvorec).
Obvod: $o = 2 \cdot (a + b)$ .