Vedecký zápis veľkých a malých čísel, odhad s kalkulačkou

Vo fyzike aj v chémii narazíš na čísla s množstvom núl — a kalkulačka ti ich aj tak vypíše skrátene. Zem je od Slnka vzdialená asi 150 000 000 km. Vlas je hrubý asi 0,000 07 m. V takých číslach sa ľahko pomýliš o jednu nulu — a to je chyba desaťnásobná. Preto sa píšu krátko: $1{,}5 \cdot 10^8\,\mathrm{km}$ a $7 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{m}$ .

Vedecký zápis veľkých čísel

Vedecký zápis čísla je tvar

a \cdot 10^n, \quad \text{kde } 1 \le a < 10 \text{ a } n \text{ je celé číslo.}

Pred desatinnou čiarkou je teda práve jedna nenulová číslica.

Desatinnú čiarku za číslom 150 000 000 posunieš o 8 miest doľava, za jednotku. Dostaneš 1,5 a exponent je 8.

Postup: čiarku posuň tak, aby pred ňou ostala jedna číslica. Koľko miest si ju posunul doľava, taký je kladný exponent.

Na Zemi žije vyše 8 miliárd ľudí: $8\,000\,000\,000 = 8 \cdot 10^9$ .
Slovensko má asi 5 400 000 obyvateľov: $5{,}4 \cdot 10^6$ .
Video s 2 500 000 zhliadnutiami: $2{,}5 \cdot 10^6$ .

Vedecký zápis malých čísel

Pri číslach menších ako 1 posúvaš čiarku doprava — a exponent je záporný.

Hrúbka vlasu $0{,}000\,07\,\mathrm{m}$ : čiarku posunieš o 5 miest doprava za sedmičku.

$0{,}000\,07\,\mathrm{m} =$ $7 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{m}$

Baktéria dlhá asi $0{,}000\,002\,\mathrm{m}$ : 6 miest doprava.

$0{,}000\,002\,\mathrm{m} =$ $2 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}$ $= 2\,\mathrm{\mu m}$

Pomôcka: číslo od 10 vyššie má kladný exponent, číslo menšie ako 1 záporný. Číslo od 1 do 10 má exponent 0 (napr. $3{,}7 = 3{,}7 \cdot 10^0$ ).

Späť na obyčajné číslo

Kladný exponent: čiarku posuň doprava (číslo zväčšíš). Záporný: doľava (číslo zmenšíš).

$3{,}2 \cdot 10^4 = 32\,000$ (4 miesta doprava)
$4{,}7 \cdot 10^{-3} = 0{,}0047$ (3 miesta doľava)

$25 \cdot 10^3$ má správnu hodnotu 25 000, ale nie je vedecký zápis — 25 nie je menšie ako 10. Správne $2{,}5 \cdot 10^4$ . Rovnako $0{,}5 \cdot 10^3$ → $5 \cdot 10^2$ , lebo 0,5 je menšie ako 1.

Kalkulačka a odhad

Keď sa výsledok nezmestí na displej, kalkulačka ho ukáže vo vedeckom zápise, napríklad 1.5E8 — to znamená $1{,}5 \cdot 10^8$ . 2.4E-3 znamená $2{,}4 \cdot 10^{-3} = 0{,}0024$ .

Ako dlho letí svetlo zo Slnka na Zem? Vzdialenosť asi $1{,}5 \cdot 10^8\,\mathrm{km}$ , svetlo prejde asi $3 \cdot 10^5\,\mathrm{km}$ za sekundu.

$t = \dfrac{s}{v} = \dfrac{150\,000\,000}{300\,000}$ — škrtni 5 núl hore aj dole: $\dfrac{1\,500}{3} =$ 500 s, teda 8 min 20 s.

Odhad chráni pred preklepom na kalkulačke. Zaokrúhli na jednu platnú číslicu a počítaj s nulami: $300\,000 \cdot 2\,000 = 600\,000\,000 = 6 \cdot 10^8$ (5 + 3 = 8 núl). Ak kalkulačka ukáže $6 \cdot 10^7$ , niekde ti vypadla nula.

a) Zapíš vo vedeckom zápise: $72\,000\,000$ b) $0{,}0009$ c) Prepíš $6{,}05 \cdot 10^3$ na obyčajné číslo.

Ukáž riešenie

a) čiarka o 7 miest doľava: $7{,}2 \cdot 10^7$ b) čiarka o 4 miesta doprava: $9 \cdot 10^{-4}$ c) čiarka o 3 miesta doprava: 6 050

Teraz ty — chyť správny zápis:

Zapamätaj si

Vedecký zápis: $a \cdot 10^n$ , kde $1 \le a < 10$ : $150\,000\,000 = 1{,}5 \cdot 10^8$ .
Veľké číslo → kladný exponent, číslo menšie ako 1 → záporný: $0{,}000\,07 = 7 \cdot 10^{-5}$ .
Späť: kladný exponent = čiarka doprava, záporný = doľava.
Kalkulačka: 1.5E8 = $1{,}5 \cdot 10^8$ ; výsledok vždy over odhadom.