Spracovanie výsledkov merania

Na telesnej meriate šprint na 60 m. Päť spolužiakov stopuje ten istý beh a každému vyjde trochu iný čas. Ktorý je ten „pravý“? Žiadny presne — ale z piatich čísel vieš povedať, aký je čas a aj to, nakoľko sa mu dá veriť.

Prečo každé meranie vyjde inak

Z lekcie Fyzika okolo nás vieš, že sa meria viackrát a počíta sa aritmetický priemer $\bar{x}$ . Merania sa líšia, lebo každé meranie má chybu. Chyby sú troch druhov:

Náhodné chyby — raz stlačíš stopky skôr, raz neskôr, ruka sa trasie, pravítko priložíš trochu nakrivo. Raz je výsledok väčší, raz menší. Opakovaním a priemerom sa zmenšia.
Systematické chyby — chyba je vždy rovnaká a na rovnakú stranu: kuchynská váha nie je vynulovaná a ukazuje o 20 g viac, teplomer ukazuje stále o 2 °C viac. Opakovanie nepomôže — treba opraviť meradlo alebo postup.
Hrubé chyby (omyly) — zabudol si zastaviť stopky, zle si odčítal stupnicu, zapísal si 21 namiesto 12. Také meranie vyškrtneš a nepočítaš s ním.

Odchýlka — o koľko sa meranie líši od priemeru

Keď máš priemer, pozri sa, o koľko sa od neho líši každé meranie. To je absolútna odchýlka jedného merania:

\Delta x_i = |x_i - \bar{x}|

Absolútna hodnota preto, lebo nás zaujíma len o koľko, nie či nahor alebo nadol. Z odchýlok všetkých meraní urobíš opäť priemer — priemerná absolútna odchýlka:

\Delta x = \frac{\Delta x_1 + \Delta x_2 + \dots + \Delta x_n}{n}

Výsledok merania potom zapíšeš takto:

x = (\bar{x} \pm \Delta x)\ \text{jednotka}

Čítaš to: skutočná hodnota je pravdepodobne niekde medzi $\bar{x} - \Delta x$ a $\bar{x} + \Delta x$ .

Meriaš dĺžku lavice v triede zvinovacím metrom päťkrát: 120,3 cm; 120,1 cm; 120,4 cm; 120,2 cm; 120,5 cm.

Priemer: súčet $120{,}3 + 120{,}1 + 120{,}4 + 120{,}2 + 120{,}5 = 601{,}5\,\mathrm{cm}$ , potom $\bar{l} = \dfrac{601{,}5}{5} = 120{,}3\,\mathrm{cm}$
Odchýlky: $0$ ; $0{,}2$ ; $0{,}1$ ; $0{,}1$ ; $0{,}2\,\mathrm{cm}$
Priemerná odchýlka: $\Delta l = \dfrac{0 + 0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}2}{5} = \dfrac{0{,}6}{5} = 0{,}12\,\mathrm{cm} \approx 0{,}1\,\mathrm{cm}$
Výsledok: $l = (120{,}3 \pm 0{,}1)\,\mathrm{cm}$

Oranžové body sú jednotlivé merania, zelená čiara priemer, modré pásmo je výsledok $(120{,}3 \pm 0{,}1)\,\mathrm{cm}$ .

Relatívna odchýlka — ktoré meranie je presnejšie?

Je odchýlka 0,1 cm veľa, alebo málo? Pri lavici dlhej 120 cm je to drobnosť, pri skrutke dlhej 1 cm obrovská chyba. Preto sa odchýlka porovnáva s priemerom — to je relatívna odchýlka:

\delta = \frac{\Delta x}{\bar{x}} \cdot 100\,\%

Pre lavicu: $\delta = \dfrac{0{,}12}{120{,}3} \cdot 100\,\% \approx 0{,}1\,\%$ — veľmi presné meranie.

Šprint na 60 m: päť spolužiakov stopovalo ten istý beh a ich stopky ukázali 8,1 s; 8,8 s; 8,4 s; 8,7 s; 8,5 s.

$\bar{t} = \dfrac{42{,}5}{5} = 8{,}5\,\mathrm{s}$
Odchýlky: $0{,}4$ ; $0{,}3$ ; $0{,}1$ ; $0{,}2$ ; $0\,\mathrm{s}$ , ich súčet je $1{,}0\,\mathrm{s}$
$\Delta t = \dfrac{1{,}0}{5} = 0{,}2\,\mathrm{s}$ , takže $t = (8{,}5 \pm 0{,}2)\,\mathrm{s}$
$\delta = \dfrac{0{,}2}{8{,}5} \cdot 100\,\% \approx$ 2,4 %

Meranie stopkami v ruke je viac ako 20-krát menej presné než meranie lavice — vinné je hlavne kolísanie reakčného času človeka pri štarte aj v cieli (raz stlačí stopky skôr, raz neskôr). Preto sa na pretekoch používa elektronická časomiera.

Ako výsledok rozumne zapísať

Odchýlku zaokrúhli na jednu platnú číslicu: 0,12 → 0,1; 0,024 → 0,02.
Priemer zaokrúhli na ten istý rád ako odchýlku: $(8{,}5 \pm 0{,}2)\,\mathrm{s}$ , nie $(8{,}5000 \pm 0{,}2)\,\mathrm{s}$ .
Odchýlka má rovnakú jednotku ako veličina. Relatívna odchýlka je v percentách (bez jednotky veličiny).

Kalkulačka nevie, ako presne si meral. Ak ti vyjde priemer 8,466 666 7 s, nepíš ho celý. Stopky merajú na desatiny, takže tisíciny a milióntiny sekundy sú vymyslené čísla. Zapíš $8{,}5\,\mathrm{s}$ .

Hrubú chybu vyhoď skôr, než počítaš priemer. Časy 8,5 s; 8,4 s; 8,6 s; 12,1 s; 8,5 s — štvrté meranie je zjavne omyl (stopky sa zastavili neskoro). S ním by priemer vyšiel 9,22 s, bez neho 8,5 s. Jedno zlé meranie pokazí celý výsledok.

Prepojenie na elektro: aj multimeter má v návode uvedenú presnosť, napríklad „±1 % z hodnoty“. Keď ukáže 230 V, skutočné napätie je približne medzi 227,7 V a 232,3 V. Elektrikár s tým počíta — a aj ty budeš pri laboratórnych meraniach.

Dĺžku nabíjacieho kábla si zmeral štyrikrát: 99,6 cm; 100,2 cm; 99,8 cm; 100,4 cm. Zapíš výsledok v tvare $(\bar{l} \pm \Delta l)$ a vypočítaj relatívnu odchýlku.

Ukáž riešenie

$\bar{l} = \dfrac{99{,}6 + 100{,}2 + 99{,}8 + 100{,}4}{4} = \dfrac{400{,}0}{4} = 100{,}0\,\mathrm{cm}$

Odchýlky: $0{,}4$ ; $0{,}2$ ; $0{,}2$ ; $0{,}4\,\mathrm{cm}$ → $\Delta l = \dfrac{1{,}2}{4} = 0{,}3\,\mathrm{cm}$

$l = (100{,}0 \pm 0{,}3)\,\mathrm{cm}$ , $\delta = \dfrac{0{,}3}{100{,}0} \cdot 100\,\% =$ 0,3 %.

Teraz ty: aký druh chyby je to?

A pojmy k vzorcom:

Zapamätaj si

Náhodné chyby zmenší opakovanie a priemer, systematické nie, hrubé chyby (omyly) sa vyškrtnú.
Odchýlka merania: $\Delta x_i = |x_i - \bar{x}|$ , priemerná odchýlka $\Delta x$ je priemer týchto odchýlok.
Výsledok sa zapisuje $x = (\bar{x} \pm \Delta x)$ jednotka — odchýlka na jednu platnú číslicu, priemer na rovnaký rád.
Relatívna odchýlka $\delta = \dfrac{\Delta x}{\bar{x}} \cdot 100\,\%$ povie, ktoré meranie je presnejšie.

Spracovanie výsledkov merania

Prečo každé meranie vyjde inak

Odchýlka — o koľko sa meranie líši od priemeru

Relatívna odchýlka — ktoré meranie je presnejšie?

Ako výsledok rozumne zapísať

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí