Šošovky a zobrazovacia rovnica

Na recepte na okuliare máš napísané „−2,0 D“. Fotoaparát mobilu zaostrí na tvár aj na hory za sekundu. Projektor v triede vyrobí z malého čipu obraz cez celú stenu. Všetko riadi jedna rovnica s tromi písmenami. Zo ZŠ vieš, čo robí spojka a rozptylka — teraz vypočítaš, kde obraz vznikne a aký veľký bude.

Ohnisková vzdialenosť a dioptrie

Spojka zbieha rovnobežné lúče do ohniska $F'$ za šošovkou, rozptylka ich rozbieha, akoby vychádzali z ohniska pred ňou. Vzdialenosť ohniska od stredu šošovky je ohnisková vzdialenosť $f$ . Na okuliaroch sa udáva optická mohutnosť:

\varphi = \frac{1}{f}

[\varphi] = \mathrm{D}\ (\text{dioptria}) = \mathrm{m^{-1}}

Spojka má $f > 0$ a $\varphi > 0$ , rozptylka $f < 0$ a $\varphi < 0$ .
Okuliare $-2\,\mathrm{D}$ : $f = \dfrac{1}{-2}\,\mathrm{m} = -0{,}5\,\mathrm{m}$ — rozptylka pre krátkozrakého. Okuliare na čítanie $+2{,}5\,\mathrm{D}$ : $f = 0{,}4\,\mathrm{m}$ — spojka.

$f$ dosadzuj v metroch. Lupa s $f = 10\,\mathrm{cm}$ má $\varphi = \dfrac{1}{0{,}1\,\mathrm{m}} = 10\,\mathrm{D}$ , nie $0{,}1\,\mathrm{D}$ .

Zobrazovacia rovnica a znamienka

Pre tenkú šošovku platí zobrazovacia rovnica:

\frac{1}{a} + \frac{1}{a'} = \frac{1}{f}

$a$ je vzdialenosť predmetu od šošovky, $a'$ vzdialenosť obrazu. Celý celok používa jednu znamienkovú konvenciu:

veličina	kladná	záporná
$a$	predmet pred šošovkou (vždy v našich úlohách)	—
$a'$	skutočný obraz za šošovkou (zachytíš ho na plátne)	zdanlivý obraz na strane predmetu (vidíš ho len cez šošovku)
$f$	spojka	rozptylka

Priečne zväčšenie porovná veľkosť obrazu $y'$ a predmetu $y$ :

Z = \frac{y'}{y} = -\frac{a'}{a}

$Z < 0$ : obraz je prevrátený; $Z > 0$ : vzpriamený; $|Z| > 1$ zväčšený, $|Z| < 1$ zmenšený.

Spojka $f = 10\,\mathrm{cm}$ , predmet vysoký $4\,\mathrm{cm}$ je $30\,\mathrm{cm}$ pred ňou. Kde a aký vznikne obraz?

$\dfrac{1}{a'} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{2}{30}$ , teda $a' = 15\,\mathrm{cm}$ (kladné → skutočný obraz za šošovkou)
$Z = -\dfrac{a'}{a} = -\dfrac{15}{30} = -0{,}5$ → prevrátený, zmenšený na polovicu
$y' = Z \cdot y = -0{,}5 \cdot 4\,\mathrm{cm} =$ $-2\,\mathrm{cm}$ (2 cm, hlavou dole)

Význačné lúče: rovnobežný s osou ide za šošovkou cez $F'$ , lúč stredom šošovky nemení smer, lúč cez $F$ ide za šošovkou rovnobežne s osou. Pretnú sa v obraze 15 cm za šošovkou. Vzdialenosti sú v mierke: F a F′ sú 10 cm od šošovky, 2F a 2F′ 20 cm, predmet 30 cm.

Aký obraz vytvorí spojka

Pre spojku s $f = 10\,\mathrm{cm}$ :

predmet $a$	obraz $a'$	$Z$	obraz	použitie
$30\,\mathrm{cm}$ ( $a > 2f$ )	$15\,\mathrm{cm}$	$-0{,}5$	skutočný, prevrátený, zmenšený	fotoaparát, oko
$20\,\mathrm{cm}$ ( $a = 2f$ )	$20\,\mathrm{cm}$	$-1$	skutočný, prevrátený, rovnako veľký	kopírovanie 1 : 1
$15\,\mathrm{cm}$ ( $f < a < 2f$ )	$30\,\mathrm{cm}$	$-2$	skutočný, prevrátený, zväčšený	projektor
$5\,\mathrm{cm}$ ( $a < f$ )	$-10\,\mathrm{cm}$	$+2$	zdanlivý, vzpriamený, zväčšený	lupa

Pri $a = f$ obraz nevznikne (lúče za šošovkou sú rovnobežné). Rozptylka dáva vždy obraz zdanlivý, vzpriamený a zmenšený: pre $f = -20\,\mathrm{cm}$ a $a = 20\,\mathrm{cm}$ vyjde $\dfrac{1}{a'} = -\dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{20}$ , $a' = -10\,\mathrm{cm}$ , $Z = +0{,}5$ .

Objektív mobilu s $f \approx 5\,\mathrm{mm}$ pri predmete vo vzdialenosti 2 m vytvorí obraz v $a' \approx 5{,}01\,\mathrm{mm}$ — takmer v ohnisku. Pri zaostrovaní sa šošovky posúvajú len o stotiny až desatiny milimetra.

Najčastejšia chyba: $\dfrac{1}{a'} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{30}$ nie je $\dfrac{1}{-20}$ . Zlomky treba odčítať so spoločným menovateľom (alebo na kalkulačke $1/(1/10 - 1/30) = 15$ ). A záporné $a'$ nie je chyba výpočtu — znamená zdanlivý obraz.

🧪 Pokus: over zobrazovaciu rovnicu lupou

Pomôcky: lupa alebo okuliare na čítanie (spojka), biely papier, meter, zatemnená izba s rozsvietenou lampou alebo oknom. Najprv zachyť na papieri ostrý obraz vzdialeného okna — vzdialenosť lupy od papiera je približne $f$ . Potom polož lupu medzi lampu a papier bližšie k lampe a hľadaj polohu, kde je obraz žiarovky na papieri ostrý. Zmeraj $a$ (lampa–lupa) a $a'$ (lupa–papier) a vypočítaj $f$ . Nikdy sa cez šošovku nepozeraj do Slnka a nenechávaj ju ležať na slnku.

Čo zistíš

Obraz žiarovky je na papieri prevrátený. Z nameraných hodnôt vyjde $f = \dfrac{a\,a'}{a + a'}$ približne rovnaké ako pri vzdialenom okne. Napríklad $a = 12\,\mathrm{cm}$ , $a' = 60\,\mathrm{cm}$ dáva $f = \dfrac{12 \cdot 60}{72} = 10\,\mathrm{cm}$ . Keď lupu priblížiš k lampe, obraz sa vzdiali a zväčší — presne podľa tabuľky vyššie.

Lupa má $f = 8\,\mathrm{cm}$ , známku držíš $6\,\mathrm{cm}$ od nej. Kde je obraz a koľkokrát je zväčšený?

Ukáž riešenie

$\dfrac{1}{a'} = \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{6} = -\dfrac{1}{24}$ , teda $a' = -24\,\mathrm{cm}$ (zdanlivý obraz na strane známky). $Z = -\dfrac{-24}{6} =$ $4$ — vzpriamený, štyrikrát zväčšený.

Teraz ty — chyť správny výsledok:

A aký to bude obraz?

Zapamätaj si

Zobrazovacia rovnica $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a'} = \dfrac{1}{f}$ ; $a' > 0$ skutočný obraz za šošovkou, $a' < 0$ zdanlivý.
Spojka $f > 0$ , rozptylka $f < 0$ ; optická mohutnosť $\varphi = \dfrac{1}{f}$ v dioptriách, $f$ v metroch.
Zväčšenie $Z = \dfrac{y'}{y} = -\dfrac{a'}{a}$ : $Z < 0$ prevrátený, $|Z| > 1$ zväčšený.
Spojka: $a > 2f$ zmenšený (fotoaparát), $f < a < 2f$ zväčšený (projektor), $a < f$ zdanlivý zväčšený (lupa); rozptylka vždy zdanlivý zmenšený.