Diskriminant a vzorec pre korene

Vyhodíš basketbalovú loptu zvislo nahor rýchlosťou 15 m/s. Kedy bude 10 metrov nad tvojimi rukami? Fyzika (počítame s $g \approx 10\,\mathrm{m/s^2}$ ) na to dá rovnicu $5t^2 - 15t + 10 = 0$ . Nič v nej nechýba, takže odmocnenie ani vynímanie nepomôže. Potrebuješ vzorec, ktorý funguje vždy.

Diskriminant

Rovnicu najprv uprav na tvar $ax^2 + bx + c = 0$ (vpravo musí byť nula). Potom vypočítaj diskriminant:

D = b^2 - 4ac

Diskriminant je jedno číslo, ktoré „rozhoduje“ — podľa neho hneď vieš, koľko koreňov rovnica má:

Diskriminant	Počet koreňov v obore reálnych čísel
$D \gt 0$	dva rôzne korene
$D = 0$	jeden dvojnásobný koreň
$D \lt 0$	žiadny — rovnica nemá riešenie

Vzorec pre korene

Ak $D \ge 0$ , korene vypočítaš zo vzorca

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Raz dosadíš plus, raz mínus.

Vyrieš rovnicu $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Koeficienty: $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$ — kladný, budú dva korene
$x_{1,2} = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \dfrac{5 \pm 1}{2}$
$x_1 = \dfrac{6}{2} = 3$ , $x_2 = \dfrac{4}{2} = 2$

Skúška: $3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ ✓ a $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ ✓

$K = \lbrace 2;\ 3 \rbrace$

Znamienko pri $b$ . Vo vzorci je $-b$ . Ak je $b = -5$ , potom $-b = +5$ . A v diskriminante je $b^2 = (-5)^2 = 25$ , nie $-25$ — druhá mocnina je vždy nezáporná. Koeficienty si vždy vypíš aj so znamienkom skôr, než začneš dosadzovať.

Keď $a$ nie je 1

Vzorec je ten istý, len pozor na menovateľ $2a$ a na záporné $c$ (mínus krát mínus dá plus).

Vyrieš rovnicu $2x^2 + 3x - 2 = 0$ .

Koeficienty: $a = 2$ , $b = 3$ , $c = -2$
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
$x_{1,2} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \dfrac{-3 \pm 5}{4}$
$x_1 = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ , $x_2 = \dfrac{-8}{4} = -2$

Skúška: $2 \cdot \left(\tfrac12\right)^2 + 3 \cdot \tfrac12 - 2 = \tfrac12 + \tfrac32 - 2 = 0$ ✓ a $2 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$ ✓

$K = \lbrace -2;\ \tfrac12 \rbrace$

Nulový a záporný diskriminant

$D = 0$ : v rovnici $x^2 - 6x + 9 = 0$ je $D = 36 - 36 = 0$ . Plus aj mínus dajú to isté: $x = \dfrac{6 \pm 0}{2} = 3$ . Hovoríme, že 3 je dvojnásobný koreň, $K = \lbrace 3 \rbrace$ .

$D$ záporný: v rovnici $x^2 + 2x + 5 = 0$ je $D = 4 - 20 = -16$ . Odmocnina zo záporného čísla v reálnych číslach neexistuje, preto rovnica v obore reálnych čísel nemá riešenie, $K = \emptyset$ . To nie je chyba vo výpočte — je to výsledok.

Skús si v riešiči meniť $c$ a sleduj, ako sa mení diskriminant aj počet koreňov:

Uľahči si čísla. Ak sa všetky koeficienty dajú vydeliť tým istým číslom, urob to hneď. Rovnicu s loptou $5t^2 - 15t + 10 = 0$ vydeľ piatimi: $t^2 - 3t + 2 = 0$ . Korene sa nezmenia a počíta sa pohodlnejšie. Deliť nenulovým číslom smieš, deliť výrazom s neznámou nie.

a) Dorieš loptu z úvodu: $t^2 - 3t + 2 = 0$ . Čo znamenajú dva korene? b) Vyrieš $3x^2 - 2x - 1 = 0$ .

Ukáž riešenie

a) $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$ , $t_{1,2} = \dfrac{3 \pm 1}{2}$ , teda $t_1 = 1\,\mathrm{s}$ , $t_2 = 2\,\mathrm{s}$ . Lopta je vo výške 10 m dvakrát: po 1 s cestou nahor a po 2 s cestou nadol.

b) $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$ , $x_{1,2} = \dfrac{2 \pm 4}{6}$ , teda $x_1 = 1$ , $x_2 = -\dfrac13$ . $K = \lbrace -\tfrac13;\ 1 \rbrace$

Hra: vypočítaj diskriminant a roztrieď rovnice podľa počtu koreňov.

Zapamätaj si

Rovnicu najprv uprav na tvar $ax^2 + bx + c = 0$ a vypíš si $a$ , $b$ , $c$ so znamienkami.
Diskriminant: $D = b^2 - 4ac$ .
$D \gt 0$ dva rôzne korene, $D = 0$ jeden dvojnásobný koreň, $D \lt 0$ žiadny reálny koreň.
Korene: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ .
Vždy urob skúšku dosadením do pôvodnej rovnice.

Diskriminant a vzorec pre korene

Diskriminant

Vzorec pre korene

Keď aaa nie je 1

Nulový a záporný diskriminant

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí

Keď $a$ nie je 1