Neúplné kvadratické rovnice

Nové školské ihrisko má tvar štvorca a plochu 225 m². Aká dlhá je jeho strana? Hľadáš číslo, ktoré po umocnení na druhú dá 225 — a práve si napísal svoju prvú kvadratickú rovnicu: $x^2 = 225$ .

Čo je kvadratická rovnica

Kvadratická rovnica je rovnica, ktorá sa dá upraviť na tvar

ax^2 + bx + c = 0,

a \ne 0

$ax^2$ je kvadratický člen,
$bx$ je lineárny člen,
$c$ je absolútny člen.

Čísla $a$ , $b$ , $c$ sú koeficienty. Podmienka $a \ne 0$ je nutná — bez $x^2$ by rovnica bola len lineárna. Napríklad v rovnici $3x^2 - 7x + 2 = 0$ je $a = 3$ , $b = -7$ , $c = 2$ .

Keď chýba lineárny člen ( $b = 0$ ) alebo absolútny člen ( $c = 0$ ), rovnica je neúplná. Dobrá správa: neúplné rovnice vyriešiš bez akéhokoľvek vzorca.

Chýba lineárny člen: $ax^2 + c = 0$

Postup: osamostatni $x^2$ a odmocni. Pozor — druhú mocninu rovnú 9 má číslo 3 aj číslo $-3$ , preto píšeme $\pm$ .

Vyrieš rovnicu $2x^2 - 18 = 0$ .

Pripočítaj 18: $2x^2 = 18$
Vydeľ dvoma: $x^2 = 9$
Odmocni: $x = \pm 3$ , teda $x_1 = 3$ , $x_2 = -3$

Skúška: $2 \cdot 3^2 - 18 = 18 - 18 = 0$ ✓ a $2 \cdot (-3)^2 - 18 = 18 - 18 = 0$ ✓

$K = \lbrace -3;\ 3 \rbrace$

Čo keď po úprave vyjde $x^2$ rovné zápornému číslu? Napríklad $x^2 + 4 = 0$ dá $x^2 = -4$ . Druhá mocnina reálneho čísla nikdy nie je záporná, takže rovnica v obore reálnych čísel nemá riešenie: $K = \emptyset$ .

Zabudnuté $\pm$ . Z rovnice $x^2 = 9$ nevyplýva len $x = 3$ . Aj $(-3)^2 = 9$ . Kto napíše iba kladný koreň, stratil polovicu riešenia.

Chýba absolútny člen: $ax^2 + bx = 0$

Postup: vyber $x$ pred zátvorku. Dostaneš súčin, ktorý sa rovná nule — a súčin je nula práve vtedy, keď je nulový aspoň jeden činiteľ.

Vyrieš rovnicu $3x^2 - 12x = 0$ .

Vyber $3x$ pred zátvorku: $3x\,(x - 4) = 0$
Prvý činiteľ: $3x = 0$ , teda $x_1 = 0$
Druhý činiteľ: $x - 4 = 0$ , teda $x_2 = 4$

Skúška: $3 \cdot 0^2 - 12 \cdot 0 = 0$ ✓ a $3 \cdot 4^2 - 12 \cdot 4 = 48 - 48 = 0$ ✓

$K = \lbrace 0;\ 4 \rbrace$

Rovnica bez absolútneho člena má vždy koreň $x = 0$ .

Nedeľ rovnicu výrazom $x$ . Ak rovnicu $3x^2 = 12x$ vydelíš $x$ , zostane $3x = 12$ a $x = 4$ . Koreň $x = 0$ zmizol — delil si totiž výrazom, ktorý môže byť nula. Deliť smieš len číslom rôznym od nuly. Namiesto delenia vždy vynímaj pred zátvorku.

Najjednoduchší prípad a prehľad

Ak chýbajú oba členy, zostane $ax^2 = 0$ a jediným riešením je $x = 0$ .

Tvar	Postup	Korene
$ax^2 + c = 0$	osamostatni $x^2$ , odmocni	dva navzájom opačné, alebo žiadny
$ax^2 + bx = 0$	vyber $x$ pred zátvorku	$x_1 = 0$ , $x_2 = -\dfrac{b}{a}$
$ax^2 = 0$	—	$x = 0$

Rovnice si môžeš overiť v riešiči — posuvník $b$ alebo $c$ nechaj na nule:

Rýchle rozpoznanie: vidíš v rovnici len $x^2$ a číslo? Odmocňuj. Vidíš $x^2$ a $x$ , ale žiadne samotné číslo? Vynímaj. A ihrisko z úvodu: $x^2 = 225$ dá $x = \pm 15$ , ale strana nemôže byť záporná, takže meria 15 m.

Vyrieš rovnice a) $5x^2 - 80 = 0$ , b) $x^2 + 7x = 0$ , c) $2x^2 + 50 = 0$ .

Ukáž riešenie

a) $5x^2 = 80$ , $x^2 = 16$ , $x = \pm 4$ , teda $K = \lbrace -4;\ 4 \rbrace$ .

b) $x\,(x + 7) = 0$ , teda $x_1 = 0$ , $x_2 = -7$ , $K = \lbrace -7;\ 0 \rbrace$ .

c) $2x^2 = -50$ , $x^2 = -25$ — v obore reálnych čísel nemá riešenie, $K = \emptyset$ .

Hra: priraď neúplnú kvadratickú rovnicu k množine jej koreňov.

Zapamätaj si

Kvadratická rovnica má tvar $ax^2 + bx + c = 0$ , kde $a \ne 0$ ; členy sú kvadratický, lineárny a absolútny.
$ax^2 + c = 0$ : osamostatni $x^2$ a odmocni — nezabudni na $\pm$ .
Ak vyjde $x^2$ rovné zápornému číslu, rovnica v obore reálnych čísel nemá riešenie.
$ax^2 + bx = 0$ : vyber $x$ pred zátvorku, jeden koreň je vždy $0$ .
Rovnicu nikdy nedeľ výrazom s neznámou — stratíš koreň.

Neúplné kvadratické rovnice

Čo je kvadratická rovnica

Chýba lineárny člen: ax2+c=0ax^2 + c = 0ax2+c=0

Chýba absolútny člen: ax2+bx=0ax^2 + bx = 0ax2+bx=0

Najjednoduchší prípad a prehľad

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí

Chýba lineárny člen: $ax^2 + c = 0$

Chýba absolútny člen: $ax^2 + bx = 0$