Kvadratická funkcia: parabola a vrchol

Trojbodová strela v basketbale: lopta stúpa, na chvíľu akoby zastane a potom klesá do koša. Tá krivka nie je náhodná — ak zanedbáme odpor vzduchu, je to parabola. A jej najvyšší bod vieš vypočítať skôr, než lopta opustí ruku.

Kvadratická funkcia a jej graf

Kvadratická funkcia má predpis

Jej grafom je parabola. O tvare rozhoduje koeficient $a$:

• $a \gt 0$: parabola je otvorená nahor (tvar údolia), funkcia má minimum,
• $a \lt 0$: parabola je otvorená nadol (tvar kopca), funkcia má maximum.

Čím je $a$ ďalej od nuly, tým je parabola užšia. Parabola je súmerná podľa zvislej priamky, ktorá prechádza jej vrcholom $V$ — najnižším alebo najvyšším bodom.

Vrchol paraboly

Súradnice vrcholu $V[x_V;\ y_V]$:

Druhý vzorec si nemusíš pamätať: $y_V$ dostaneš aj tak, že $x_V$ dosadíš do predpisu funkcie. Priamka $x = x_V$ je os súmernosti paraboly.

Priesečníky s osami

• S osou $y$: dosaď $x = 0$, vyjde $y = c$. Priesečník je bod $[0;\ c]$.
• S osou $x$: polož $y = 0$ a vyrieš rovnicu $ax^2 + bx + c = 0$. Jej korene sú nulové body funkcie. Podľa diskriminantu sú dva, jeden (parabola sa osi len dotýka vrcholom), alebo žiadny.

Pohraj sa s posuvníkmi: zmeň znamienko $a$ a parabola sa preklopí, zmenou $c$ ju posúvaš hore a dole.

Maximum a minimum v praxi

Hodnota $y_V$ je najmenšia hodnota funkcie (pri $a \gt 0$) alebo najväčšia hodnota (pri $a \lt 0$). Presne to potrebuješ pri otázkach typu „najviac“, „najvyššie“, „najmenej“.

Hra: priraď ku každej funkcii vrchol jej paraboly — $x_V = -\frac{b}{2a}$ a dosaď.

Zapamätaj si

• Grafom funkcie $y = ax^2 + bx + c$ je parabola; pri $a \gt 0$ otvorená nahor, pri $a \lt 0$ nadol.
• Vrchol: $x_V = -\dfrac{b}{2a}$, $y_V$ dostaneš dosadením $x_V$ do predpisu (alebo $y_V = c - \dfrac{b^2}{4a}$).
• Priesečník s osou $y$ je $[0;\ c]$, priesečníky s osou $x$ sú korene rovnice $ax^2 + bx + c = 0$.
• $y_V$ je minimum (pri $a \gt 0$) alebo maximum (pri $a \lt 0$) funkcie.
• Os súmernosti $x = x_V$ leží v strede medzi nulovými bodmi.