Slovné úlohy vedúce ku kvadratickej rovnici

Mesto stavia nové multifunkčné ihrisko. Má mať plochu 240 m² a dĺžka má byť o 8 m väčšia než šírka. Aké rozmery má projektant nakresliť? Žiadne $x$ v zadaní nevidíš — musíš si ho vyrobiť sám.

Päť krokov

Neznáma: označ $x$ to, čo hľadáš, a ostatné veličiny vyjadri pomocou $x$ .
Rovnica: prepíš vetu zo zadania do matematiky (obsah, súčin, Pytagorova veta, vzorec z fyziky).
Riešenie: uprav na tvar $ax^2 + bx + c = 0$ a vyrieš.
Zmysel: posúď každý koreň — dĺžka, čas či počet kusov nemôžu byť záporné.
Skúška a odpoveď: over výsledok v pôvodnom texte a odpovedz celou vetou.

Plocha ihriska

Ihrisko má plochu 240 m² a dĺžku o 8 m väčšiu než šírku. Urč jeho rozmery.

Šírka $x$ (v metroch), dĺžka $x + 8$ .
Obsah obdĺžnika: $x\,(x + 8) = 240$
$x^2 + 8x - 240 = 0$ , $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 64 + 960 = 1024$ , $\sqrt{D} = 32$

$x_{1,2} = \dfrac{-8 \pm 32}{2}$ , teda $x_1 = 12$ , $x_2 = -20$
Šírka nemôže byť záporná, $x_2 = -20$ nevyhovuje. Šírka je 12 m, dĺžka $12 + 8 = 20\,\mathrm{m}$ .

Skúška v texte: $12\,\mathrm{m} \cdot 20\,\mathrm{m} = 240\,\mathrm{m^2}$ ✓, dĺžka je o 8 m väčšia ✓

Ihrisko má rozmery 12 m a 20 m.

Koreň rovnice ešte nie je odpoveď. Rovnica mala dva korene, úloha len jedno riešenie. Záporný koreň nevyhadzuj automaticky — vždy sa spýtaj, čo $x$ znamená. A pozor, na čo sa úloha pýta: ak chce dĺžku, odpoveď je 20 m, nie $x = 12$ .

Dráha na zastavenie

Vodič zbadá prekážku. Počas reakčnej doby 1 s ide auto ešte pôvodnou rýchlosťou $v$ , potom brzdí so spomalením $5\,\mathrm{m/s^2}$ . V tomto zjednodušenom modeli je celková dráha na zastavenie v metroch $s = v + 0{,}1v^2$ , kde $v$ je rýchlosť v m/s. Akou rýchlosťou išlo auto, ktoré zastalo na 60 m?

Neznáma je rýchlosť $v$ v m/s.
$v + 0{,}1v^2 = 60$
Vynásob desiatimi a usporiadaj: $v^2 + 10v - 600 = 0$

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 100 + 2400 = 2500$ , $\sqrt{D} = 50$

$v_{1,2} = \dfrac{-10 \pm 50}{2}$ , teda $v_1 = 20$ , $v_2 = -30$
Záporná rýchlosť tu nedáva zmysel, $v = 20\,\mathrm{m/s}$ .

Skúška v texte: $20 + 0{,}1 \cdot 20^2 = 20 + 40 = 60\,\mathrm{m}$ ✓

Auto išlo rýchlosťou 20 m/s, čo je 72 km/h.

Všimni si: pri 10 m/s (36 km/h) je dráha $10 + 0{,}1 \cdot 100 = 20\,\mathrm{m}$ . Dvojnásobná rýchlosť (20 m/s namiesto 10 m/s) tu znamená trojnásobnú dráhu na zastavenie — to robí práve kvadratický člen. Čím vyššia rýchlosť, tým viac dráha rastie.

Keď vyhovujú oba korene

Niekedy majú zmysel obidva korene. Loptu vykopneš zvislo nahor rýchlosťou 20 m/s, jej výška je $h = 20t - 5t^2$ (počítame s $g \approx 10\,\mathrm{m/s^2}$ ). Kedy je vo výške 15 m?

20t - 5t^2 = 15 \quad\Rightarrow\quad t^2 - 4t + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad t_1 = 1\,\mathrm{s},\ t_2 = 3\,\mathrm{s}

Oba časy sú kladné a oba sú správne: po 1 s lopta stúpa, po 3 s už padá.

Rovnicu z ľubovoľnej úlohy si môžeš skontrolovať v riešiči:

Skúšku rob v texte, nie v rovnici. Ak si rovnicu zostavil zle, skúška dosadením do nej vyjde aj tak. Chybu odhalí len návrat k zadaniu: sedí plocha? Sedí rozdiel strán? Sedí obvod?

a) Súčin dvoch po sebe idúcich prirodzených čísel je 156. Ktoré sú to čísla? b) Obdĺžnikový záhon má obvod 28 m a obsah 48 m². Aké má rozmery?

Ukáž riešenie

a) Čísla $n$ a $n + 1$ : $n\,(n + 1) = 156$ , teda $n^2 + n - 156 = 0$ . $D = 1 + 624 = 625$ , $n_{1,2} = \dfrac{-1 \pm 25}{2}$ , teda $n_1 = 12$ , $n_2 = -13$ . Prirodzené je len 12. Čísla sú 12 a 13 (skúška: $12 \cdot 13 = 156$ ✓).

b) Súčet strán je polovica obvodu, 14 m. Strany $x$ a $14 - x$ : $x\,(14 - x) = 48$ , teda $x^2 - 14x + 48 = 0$ . $D = 196 - 192 = 4$ , $x_{1,2} = \dfrac{14 \pm 2}{2}$ , teda $x_1 = 8$ , $x_2 = 6$ . Oba korene dávajú ten istý záhon: 6 m a 8 m (skúška: obvod $2 \cdot (6 + 8) = 28\,\mathrm{m}$ ✓, obsah $6 \cdot 8 = 48\,\mathrm{m^2}$ ✓).

Hra: kvadratická rovnica dala koreň — rozhodni, či v danej situácii dáva zmysel.

Zapamätaj si

Postup: neznáma → rovnica → riešenie → zmysel koreňov → skúška v texte a odpoveď.
Rovnicu vždy uprav na tvar $ax^2 + bx + c = 0$ a rieš cez $D = b^2 - 4ac$ .
Koreň, ktorý nedáva zmysel (záporná dĺžka, záporný čas), vylúč — ale až po úvahe.
Niekedy vyhovujú oba korene, napríklad lopta je v tej istej výške cestou nahor aj nadol.
Odpovedaj na to, na čo sa úloha pýta, a s jednotkou.

Slovné úlohy vedúce ku kvadratickej rovnici

Päť krokov

Plocha ihriska

Dráha na zastavenie

Keď vyhovujú oba korene

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí