Implikácia, ekvivalencia a kvantifikátory

Rodičia ti sľúbia: „Ak budeš mať z matiky jednotku, tak ti kúpime slúchadlá.“ Jednotku nemáš, slúchadlá si aj tak dostal. Porušili sľub? Nie. Sľub porušia len v jedinom prípade — a ten ti prezradí, ako funguje implikácia.

Implikácia

Implikácia $A \Rightarrow B$ sa číta „ak $A$ , tak $B$ “. Výrok $A$ je predpoklad, $B$ je záver. Implikácia je nepravdivá len v jednom prípade: predpoklad platí a záver nie (jednotku máš, slúchadlá nie).

$A$	$B$	$A \Rightarrow B$	$A \Leftrightarrow B$
1	1	1	1
1	0	0	0
0	1	1	0
0	0	1	1

Implikácia s nepravdivým predpokladom je vždy pravdivá. Keď jednotku nemáš, sľub sa porušiť nedá — nech rodičia urobia čokoľvek. Preto je aj výrok „Ak je 5 párne, tak je 7 párne“ pravdivý: $0 \Rightarrow 0$ má hodnotu 1.

Negácia implikácie opisuje presne ten jeden zlý prípad — predpoklad platí a záver nie:

\neg(A \Rightarrow B) \ \text{ je to isté ako } \ A \wedge \neg B

Negácia implikácie teda nie je implikácia.

Obrátená a obmenená implikácia

K implikácii $A \Rightarrow B$ patria dve príbuzné:

obrátená $B \Rightarrow A$ — nehovorí to isté, môže mať inú pravdivostnú hodnotu,
obmenená $\neg B \Rightarrow \neg A$ — hovorí presne to isté ako pôvodná.

Príklad: „Ak je číslo deliteľné 6, tak je párne“ je pravda. Obmenená: „Ak číslo nie je párne, tak nie je deliteľné 6“ — tiež pravda. Obrátená: „Ak je číslo párne, tak je deliteľné 6“ — nepravda, stačí číslo 4.

Ekvivalencia

Ekvivalencia $A \Leftrightarrow B$ sa číta „ $A$ práve vtedy, keď $B$ “. Je pravdivá, keď majú $A$ a $B$ rovnakú pravdivostnú hodnotu (obe 1 alebo obe 0) — pozri posledný stĺpec tabuľky. Je to implikácia oboma smermi naraz: $A \Rightarrow B$ a zároveň $B \Rightarrow A$ .

Urči pravdivostnú hodnotu:

a) „Ak je 6 deliteľné 4, tak je 6 párne.“

Predpoklad „6 je deliteľné 4“ je nepravdivý (0), záver „6 je párne“ je pravdivý (1).
$0 \Rightarrow 1$ má hodnotu 1 — výrok je pravdivý.

b) „Ak $2 + 2 = 4$ , tak je 5 párne.“

Predpoklad je pravdivý (1), záver nepravdivý (0).
$1 \Rightarrow 0$ má hodnotu 0 — výrok je nepravdivý.

c) „3 je párne práve vtedy, keď 8 je nepárne.“

„3 je párne“ má hodnotu 0, „8 je nepárne“ má hodnotu 0.
Hodnoty sú rovnaké, $0 \Leftrightarrow 0$ má hodnotu 1 — výrok je pravdivý.

Kvantifikátory

Slová „každý“ a „existuje“ hovoria, pre koľko prvkov niečo platí:

všeobecný kvantifikátor $\forall$ — „pre každé“, „pre všetky“,
existenčný kvantifikátor $\exists$ — „existuje aspoň jedno“.

$\forall x \in \mathbb{N}:\ x + 1 > x$ čítaj „pre každé prirodzené číslo $x$ platí $x + 1 > x$ “ (pravda).

$\exists x \in \mathbb{N}:\ x^2 = 16$ čítaj „existuje prirodzené číslo $x$ , pre ktoré $x^2 = 16$ “ (pravda, $x = 4$ ).

Na vyvrátenie výroku s $\forall$ stačí jeden protipríklad. Na dôkaz výroku s $\exists$ stačí jeden príklad.

Negácia výrokov s kvantifikátorom

Pri negácii sa kvantifikátor vymení a tvrdenie za ním sa zneguje:

Výrok	Negácia
Každý … má vlastnosť $V$ .	Existuje aspoň jeden …, ktorý nemá vlastnosť $V$ .
Existuje …, ktorý má vlastnosť $V$ .	Žiadny … nemá vlastnosť $V$ . (Každý … nemá $V$ .)

Negácia „všetci“ nie je „nikto“. Výrok „Všetci žiaci majú mobil“ vyvráti už jeden žiak bez mobilu. Negácia je preto „Aspoň jeden žiak nemá mobil“, nie „Žiadny žiak nemá mobil“. Keby mala mobil polovica triedy, neplatilo by „všetci“ ani „nikto“ — a z dvojice výrok – negácia musí platiť vždy práve jeden.

Zneguj výroky:

a) „Každý hráč tímu dal aspoň 2 góly.“

„Každý“ vymeníš za „existuje aspoň jeden“.
Zneguješ vlastnosť: „dal aspoň 2 góly“ → „dal najviac 1 gól“.
„Aspoň jeden hráč tímu dal najviac 1 gól.“

b) „Existuje prvočíslo, ktoré je párne.“

„Existuje“ vymeníš za „každé“ a zneguješ vlastnosť „je párne“.
„Každé prvočíslo je nepárne.“ (To isté: „Žiadne prvočíslo nie je párne.“) Pôvodný výrok je pravdivý (číslo 2), negácia je teda nepravdivá.

c) „Ak prší, tak sa zápas zruší.“

Je to implikácia $A \Rightarrow B$ , negácia je $A \wedge \neg B$ .
„Prší a zápas sa nezruší.“

Programovanie a obvody: podobne ako sľub funguje if A: v programe — keď podmienka $A$ neplatí, program blok preskočí a nič sa „neporuší“, presne ako implikácia s nepravdivým predpokladom. Ekvivalencii zodpovedá hradlo XNOR: na výstupe je 1, keď sú oba vstupy rovnaké. A kvantifikátory poznáš ako funkcie all() („všetky spĺňajú“) a any() („aspoň jeden spĺňa“).

a) Je výrok „Ak je 5 väčšie ako 7, tak $1 + 1 = 3$ “ pravdivý? b) Zneguj: „Všetci žiaci triedy majú z písomky viac ako 10 bodov.“

Ukáž riešenie

a) Predpoklad je nepravdivý (0), záver tiež (0). $0 \Rightarrow 0$ má hodnotu 1 — výrok je pravdivý.

b) „Aspoň jeden žiak triedy má z písomky najviac 10 bodov.“

Hra: priraď ku každému výroku jeho negáciu — pozor, negácia „každý“ nie je „nikto“.

Zapamätaj si

Implikácia $A \Rightarrow B$ je nepravdivá len pre $1 \Rightarrow 0$ ; pri nepravdivom predpoklade je vždy pravdivá.
Negácia implikácie: $\neg(A \Rightarrow B)$ je $A \wedge \neg B$ .
Obmenená implikácia $\neg B \Rightarrow \neg A$ hovorí to isté ako $A \Rightarrow B$ ; obrátená $B \Rightarrow A$ nie.
Ekvivalencia $A \Leftrightarrow B$ je pravdivá, keď majú $A$ a $B$ rovnakú pravdivostnú hodnotu.
Negácia „každý má $V$ “ je „aspoň jeden nemá $V$ “; negácia „existuje s $V$ “ je „žiadny nemá $V$ “.

Implikácia, ekvivalencia a kvantifikátory

Implikácia

Obrátená a obmenená implikácia

Ekvivalencia

Kvantifikátory

Negácia výrokov s kvantifikátorom

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí