V hre sa dvere otvoria, len keď máš kľúč a zároveň si aspoň na leveli 5. Programátor to zapísal ako if kluc and level5. Kedy presne dvere ostanú zavreté? Keď nemáš kľúč, alebo nemáš level — a práve tento prechod od „a“ k „alebo“ je jadro dnešnej lekcie.
Výrok a pravdivostná hodnota
Výrok je oznamovacia veta, o ktorej má zmysel povedať, či je pravdivá, alebo nepravdivá. Pravdivý výrok má pravdivostnú hodnotu 1, nepravdivý 0.
- „Číslo 7 je prvočíslo.“ — výrok, hodnota 1.
- „Číslo 9 je párne.“ — výrok, hodnota 0. Aj nepravdivá veta je výrok.
- „Koľko je hodín?“ „Zavri okno!“ — nie sú výroky (otázka, rozkaz).
- „“ — nie je výrok, kým nevieš, čo je . Volá sa to výroková forma.
Výroky označujeme veľkými písmenami , , …
Negácia
Negácia výroku je výrok („nie je pravda, že “). Má vždy opačnú pravdivostnú hodnotu ako .
Pri počtoch a nerovnostiach si predstav číselnú os — negácia musí pokryť všetko ostatné:
| Výrok | Negácia |
|---|---|
| aspoň 3 (3 a viac) | najviac 2 |
| najviac 3 (3 a menej) | aspoň 4 |
| práve 3 | najviac 2 alebo aspoň 4 |
Negácia nie je „opak“. Negácia výroku „Tričko je biele“ nie je „Tričko je čierne“, ale „Tričko nie je biele“ — môže byť aj modré. Rovnako negácia „“ nie je „ je menšie ako 5“, lebo by si zabudol na .
Konjunkcia a disjunkcia
Z dvoch výrokov poskladáš zložený výrok logickou spojkou:
- konjunkcia („ a “) — pravdivá, len keď sú pravdivé oba výroky,
- disjunkcia („ alebo “) — pravdivá, keď je pravdivý aspoň jeden.
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
„Alebo“ v matematike nie je vylučovacie. V reči „dám si pizzu alebo burger“ znamená jedno z dvoch. V matematike je pravdivá aj vtedy, keď platia oba výroky naraz (prvý riadok tabuľky).
Pravdivostná hodnota: : „7 je prvočíslo.“ : „10 je deliteľné tromi.“ Urči hodnotu výrokov , , a .
- je pravdivý (1), je nepravdivý (0).
- : obe musia platiť, neplatí → 0.
- : stačí jeden, platí → 1.
- : opak hodnoty 0 → 1.
- : má hodnotu 0, má hodnotu 0, neplatí ani jeden → 0.
Negácia konjunkcie a disjunkcie
Kedy neplatí „mám kľúč a mám level 5“? Keď chýba aspoň jedno. Kedy neplatí „pôjdem do kina alebo na zápas“? Keď nepôjdem ani tam, ani tam. To sú De Morganove pravidlá:
Zneguješ obe časti a spojku vymeníš („a“ za „alebo“ a naopak).
Zneguj výroky:
a) „Mám kľúč a som aspoň na leveli 5.“
- Časti: = „mám kľúč“, = „som aspoň na leveli 5“. Výrok je .
- Negácie častí: „nemám kľúč“, „som najviac na leveli 4“.
- Spojku „a“ vymeníš za „alebo“: „Nemám kľúč alebo som najviac na leveli 4.“
b) „Dnes pôjdem do kina alebo na zápas.“
- Výrok je disjunkcia .
- Negácie častí: „nepôjdem do kina“, „nepôjdem na zápas“.
- Spojku „alebo“ vymeníš za „a“: „Dnes nepôjdem do kina a nepôjdem na zápas.“
Elektro a programovanie: logické spojky sú presne to, čo robia logické hradlá. Konjunkcia = AND (na výstupe je 1, len keď sú oba vstupy 1 — dva vypínače za sebou, sériovo), disjunkcia = OR (dva vypínače vedľa seba, paralelne), negácia = NOT (invertor). De Morganove pravidlá sa v obvodoch používajú na nahrádzanie jedných hradiel druhými.
Zneguj výroky: a) „V triede je aspoň 25 žiakov.“ b) „Číslo je väčšie ako 3 a zároveň najviac 8.“
Ukáž riešenie
a) „V triede je najviac 24 žiakov.“
b) Výrok je . Negácia: , slovom „Číslo je najviac 3 alebo je väčšie ako 8.“
Hra: roztrieď vety — výrok je aj nepravdivá oznamovacia veta.
Zapamätaj si
- Výrok je veta, ktorá je pravdivá (1) alebo nepravdivá (0); negácia má opačnú hodnotu.
- Negácia „aspoň “ je „najviac “; negácia „najviac “ je „aspoň “.
- Konjunkcia je pravdivá, len keď platia oba; disjunkcia , keď platí aspoň jeden (aj oba).
- De Morgan: je a je .