Vennove diagramy a úlohy s počtami

V triede je 30 žiakov. Futbal hrá 18, hokej 12. To je spolu 30 — takže každý niečo hrá? Nie. Piati hrajú oboje a ty si ich zarátal dvakrát. Koľkí teda nehrajú nič? Na to je najlepší obrázok s dvoma kruhmi.

Vennov diagram

Vennov diagram kreslí množiny ako kruhy v obdĺžniku. Obdĺžnik je základná množina $U$ (tu celá trieda), každý kruh je jedna množina. Dva prekrývajúce sa kruhy rozdelia obdĺžnik na 4 oblasti:

• len v $A$ (to je $A - B$),
• v oboch (prienik $A \cap B$),
• len v $B$ (to je $B - A$),
• mimo oboch kruhov (doplnok zjednotenia, $(A \cup B)'$).

V úlohách s počtami nepíšeš do oblastí prvky, ale počty. Každý žiak patrí presne do jednej oblasti, takže súčet všetkých štyroch čísel je počet prvkov $U$.

Počet prvkov zjednotenia

Keď sčítaš $|A| + |B|$, prvky z prieniku zarátaš dvakrát. Preto ich raz odčítaš:

Ak sú množiny disjunktné ($A \cap B = \emptyset$), odčítaš nulu a platí jednoducho $|A \cup B| = |A| + |B|$.

Keď prienik nepoznáš

Vzorec funguje aj opačne. Ak poznáš $|A|$, $|B|$ a $|A \cup B|$, prienik dopočítaš:

Tri množiny

Tri kruhy rozdelia obdĺžnik na 8 oblastí. Postup je rovnaký: zvnútra von. Najprv stred (všetky tri), potom dvojice, potom „len jedna“ a nakoniec okolie.

Hra: v triede je 28 žiakov, 15 chodí do posilňovne, 10 na plávanie a 4 na oboje. Nakresli si diagram a priraď počty. Kartičky so zápisom $|A|$, $|B|$ majú vlastné údaje — počítaj podľa vzorca.

Zapamätaj si

• Vennov diagram: obdĺžnik je základná množina, kruhy sú množiny, do oblastí píšeš počty.
• $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ — prienik odčítaš, lebo je zarátaný dvakrát.
• Diagram vypĺňaj zvnútra von: najprv prienik, potom „len $A$“, „len $B$“, nakoniec okolie.
• „Hrá futbal“ zahŕňa aj tých, čo hrajú oboje; „len futbal“ je $|F| - |F \cap H|$.
• Súčet všetkých oblastí sa musí rovnať počtu prvkov základnej množiny.