Kružnica a kruh: dĺžka, obsah, oblúk, výsek

Pizza s priemerom 32 cm stojí len o trochu viac ako pizza s priemerom 22 cm. Oplatí sa väčšia? A keď ju rozkrojíš na 8 kúskov, koľko pizze je v jednom a aký dlhý má okraj? Stačia dva vzorce a jedno číslo.

Kružnica, kruh, polomer, priemer

Kružnica je čiara — všetky body rovnako vzdialené od stredu $S$ .
Kruh je plocha — kružnica aj so všetkým vnútri.
Polomer $r$ je vzdialenosť stredu od kružnice.
Priemer $d$ ide cez stred od jedného okraja po druhý: $d = 2r$ .

Okraj pizze je kružnica, celá pizza je kruh.

Dĺžka kružnice a obsah kruhu

Pomer dĺžky kružnice a jej priemeru je pre každú kružnicu rovnaký. Volá sa $\pi$ (pí) a platí $\pi \approx 3{,}14159$ .

o = 2\pi r = \pi d

S = \pi r^2

Počítaj s tlačidlom $\pi$ na kalkulačke a zaokrúhli až výsledok.

Veľká pizza: priemer 32 cm. Aký dlhý je jej okraj a akú má plochu?

Polomer: $r = d : 2 = 32\,\mathrm{cm} : 2 = 16\,\mathrm{cm}$
Okraj: $o = 2\pi r = 2\pi \cdot 16\,\mathrm{cm} = 32\pi\,\mathrm{cm}$ , teda $o \approx 100{,}5\,\mathrm{cm}$
Plocha: $S = \pi r^2 = \pi \cdot (16\,\mathrm{cm})^2 = 256\pi\,\mathrm{cm^2}$ , teda $S \approx 804{,}2\,\mathrm{cm^2}$

Malá pizza s priemerom 22 cm má $S = \pi \cdot (11\,\mathrm{cm})^2 \approx 380{,}1\,\mathrm{cm^2}$ . Veľká má viac ako dvojnásobnú plochu.

Do vzorca patrí polomer, nie priemer. Zadanie často dáva priemer — najprv ho vydeľ dvoma. S priemerom 32 cm namiesto polomeru by obsah vyšiel štyrikrát väčší. A pozor na poradie: v $\pi r^2$ sa umocňuje len $r$ , až potom sa násobí $\pi$ . Obvod je v cm, obsah v $\mathrm{cm^2}$ .

Oblúk a výsek

Kúsok pizze je kruhový výsek — časť kruhu medzi dvoma polomermi. Jeho zaoblený okraj je kruhový oblúk. Uhol pri strede medzi polomermi je stredový uhol $\alpha$ .

Výsek je taká časť kruhu, akú časť z 360° tvorí jeho stredový uhol:

l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360°}

S_v = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360°}

Polkruh má $\alpha = 180°$ , teda polovicu. Štvrťkruh má $\alpha = 90°$ , teda štvrtinu.

Kruh s polomerom $r = 16\,\mathrm{cm}$ a výsek so stredovým uhlom $\alpha = 45°$ — jedna osmina kruhu.

Jeden kúsok z ôsmich: pizzu s polomerom 16 cm rozkrojíš na 8 rovnakých kúskov. Aký stredový uhol, aký dlhý okraj a akú plochu má jeden kúsok?

Stredový uhol: $\alpha = 360° : 8 = 45°$
Oblúk: $l = 2\pi r \cdot \dfrac{\alpha}{360°} = 2\pi \cdot 16\,\mathrm{cm} \cdot \dfrac{45°}{360°} = 4\pi\,\mathrm{cm}$ , teda $l \approx 12{,}6\,\mathrm{cm}$
Výsek: $S_v = \pi r^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360°} = \pi \cdot 256\,\mathrm{cm^2} \cdot \dfrac{45°}{360°} = 32\pi\,\mathrm{cm^2}$ , teda $S_v \approx 100{,}5\,\mathrm{cm^2}$

Kontrola: osmina z $804{,}2\,\mathrm{cm^2}$ je $100{,}5\,\mathrm{cm^2}$ .

Dvojnásobný polomer = štvornásobná plocha. Obvod rastie s $r$ , ale obsah s $r^2$ . Preto sa väčšia pizza oplatí viac, než naznačuje priemer. To isté platí pre vodiče: drôt s dvojnásobným priemerom má štvornásobný prierez.

Štvrťkruhový záhon má polomer 5 m. Aký dlhý je jeho zaoblený okraj a akú má plochu? Zaokrúhli na jedno desatinné miesto.

Ukáž riešenie

Štvrťkruh má stredový uhol $\alpha = 90°$ , teda $\dfrac{90°}{360°} = \dfrac14$ .

$l = 2\pi \cdot 5\,\mathrm{m} \cdot \dfrac14 = 2{,}5\pi\,\mathrm{m} \approx$ $7{,}9\,\mathrm{m}$

$S_v = \pi \cdot (5\,\mathrm{m})^2 \cdot \dfrac14 = 6{,}25\pi\,\mathrm{m^2} \approx$ $19{,}6\,\mathrm{m^2}$

Teraz ty: obvody a obsahy — obdĺžnik, trojuholník aj kruh (pizza), s postupom po chybe.

Zapamätaj si

Kružnica je čiara, kruh je plocha; priemer $d = 2r$ .
Dĺžka kružnice: $o = 2\pi r = \pi d$ ; obsah kruhu: $S = \pi r^2$ .
Dĺžka oblúka: $l = 2\pi r \cdot \dfrac{\alpha}{360°}$ ; obsah výseku: $S_v = \pi r^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360°}$ .
Do vzorcov dosadzuj polomer; pri dvojnásobnom polomere je obsah štvornásobný.

Kružnica a kruh: dĺžka, obsah, oblúk, výsek

Kružnica, kruh, polomer, priemer

Dĺžka kružnice a obsah kruhu

Oblúk a výsek

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí