Obvody a obsahy rovinných útvarov

Prerábaš si izbu. Na podlahu potrebuješ laminát, okolo stien lišty. Laminát sa predáva na metre štvorcové, lišty na bežné metre. Sú to dve rôzne veci — obsah a obvod — a pomýliť si ich znamená kúpiť zle.

Obvod a obsah

Obvod $o$ je dĺžka hranice útvaru — súčet všetkých strán. Jednotky dĺžky: cm, m.
Obsah $S$ je veľkosť plochy vnútri. Jednotky plochy: $\mathrm{cm^2}$ , $\mathrm{m^2}$ .

Štvorec, obdĺžnik, rovnobežník

Útvar	Obvod	Obsah
štvorec (strana $a$ )	$o = 4a$	$S = a^2$
obdĺžnik (strany $a$ , $b$ )	$o = 2(a + b)$	$S = a \cdot b$
rovnobežník (strany $a$ , $b$ , výška $v_a$ )	$o = 2(a + b)$	$S = a \cdot v_a$

Výška $v_a$ je kolmá vzdialenosť medzi stranou $a$ a stranou oproti nej. Pri rovnobežníku to nie je šikmá strana $b$ — rovnobežník si predstav ako „zošikmený“ obdĺžnik s rovnakou základňou a výškou.

Izba: podlaha je obdĺžnik 4,2 m krát 3,5 m. Koľko laminátu a koľko líšt treba (dvere zanedbáme)?

Laminát je obsah: $S = a \cdot b = 4{,}2\,\mathrm{m} \cdot 3{,}5\,\mathrm{m}$ , teda $S = 14{,}7\,\mathrm{m^2}$
Lišty sú obvod: $o = 2(a + b) = 2 \cdot (4{,}2\,\mathrm{m} + 3{,}5\,\mathrm{m}) = 2 \cdot 7{,}7\,\mathrm{m}$ , teda $o = 15{,}4\,\mathrm{m}$

Trojuholník

o = a + b + c

S = \frac{a \cdot v_a}{2}

Obsah je polovica súčinu strany a výšky na ňu — trojuholník je totiž polovica rovnobežníka. V pravouhlom trojuholníku sú odvesny na seba kolmé, takže jedna je výškou na druhú:

S = \frac{a \cdot b}{2} \quad \text{(odvesny } a, b\text{)}

Lichobežník

Lichobežník má dve rovnobežné strany — základne $a$ a $c$ — a výšku $v$ medzi nimi:

S = \frac{(a + c) \cdot v}{2}

o = a + b + c + d

Základne spriemeruješ a vynásobíš výškou.

Lichobežník so základňami $a = 8\,\mathrm{cm}$ , $c = 5\,\mathrm{cm}$ a výškou $v = 4\,\mathrm{cm}$ .

Lichobežník z obrázka: základne $a = 8\,\mathrm{cm}$ , $c = 5\,\mathrm{cm}$ , výška $v = 4\,\mathrm{cm}$ . Aký má obsah?

$S = \dfrac{(a + c) \cdot v}{2} = \dfrac{(8\,\mathrm{cm} + 5\,\mathrm{cm}) \cdot 4\,\mathrm{cm}}{2}$
$S = \dfrac{13\,\mathrm{cm} \cdot 4\,\mathrm{cm}}{2} = \dfrac{52\,\mathrm{cm^2}}{2}$
$S = 26\,\mathrm{cm^2}$

cm nie sú cm². Obvod vychádza v jednotkách dĺžky, obsah v jednotkách plochy. A pri premene sa prevodný pomer umocňuje: $1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}$ , ale $1\,\mathrm{m^2} = 100 \cdot 100\,\mathrm{cm^2} = 10\,000\,\mathrm{cm^2}$ . Pred výpočtom maj všetky dĺžky v rovnakých jednotkách.

Zložitý tvar rozdeľ. Izbu v tvare L rozrež na dva obdĺžniky a obsahy sčítaj. Alebo ju doplň na veľký obdĺžnik a chýbajúci roh odčítaj. Oba postupy musia dať rovnaký výsledok — máš hneď kontrolu.

Rovnobežník má stranu $a = 7\,\mathrm{cm}$ , stranu $b = 5\,\mathrm{cm}$ a výšku $v_a = 4\,\mathrm{cm}$ . Vypočítaj obsah a obvod.

Ukáž riešenie

$S = a \cdot v_a = 7\,\mathrm{cm} \cdot 4\,\mathrm{cm} =$ $28\,\mathrm{cm^2}$ (nie $7 \cdot 5$ — strana $b$ nie je výška).

$o = 2(a + b) = 2 \cdot (7\,\mathrm{cm} + 5\,\mathrm{cm}) =$ $24\,\mathrm{cm}$

Hra: priraď ku každému útvaru správny vzorec.

Zapamätaj si

Obvod je dĺžka hranice (cm, m), obsah je veľkosť plochy ( $\mathrm{cm^2}$ , $\mathrm{m^2}$ ).
Štvorec: $o = 4a$ , $S = a^2$ ; obdĺžnik: $o = 2(a + b)$ , $S = ab$ .
Rovnobežník: $S = a \cdot v_a$ ; trojuholník: $S = \dfrac{a \cdot v_a}{2}$ ; lichobežník: $S = \dfrac{(a + c) \cdot v}{2}$ .
Výška je vždy kolmá na stranu, ku ktorej patrí.
$1\,\mathrm{m^2} = 10\,000\,\mathrm{cm^2}$ .

Obvody a obsahy rovinných útvarov

Obvod a obsah

Štvorec, obdĺžnik, rovnobežník

Trojuholník

Lichobežník

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí