Slovné úlohy: od textu k rovnici

Vyberáš si paušál. Operátor A chce 10 € mesačne a 0,05 € za minútu. Operátor B len 4 € mesačne, ale 0,08 € za minútu. Ktorý je výhodnejší? Závisí to od toho, koľko voláš — a presnú hranicu ti povie jedna rovnica.

Päť krokov

Prečítaj a zisti, čo sa hľadá. Vypíš si, čo je dané.
Označ neznámu — s jednotkou: „ $x$ … počet minút“.
Zostav rovnicu: tú istú vec vyjadri dvoma spôsobmi a daj medzi ne rovná sa.
Vyrieš rovnicu.
Skúška v texte a odpoveď celou vetou s jednotkou.

Malý slovník: „o 3 viac ako $x$ “ je $x + 3$ , „3-krát viac“ je $3x$ , „o 3 menej“ je $x - 3$ , „polovica“ je $\dfrac{x}{2}$ .

Príklad 1 (paušály): Pri koľkých minútach zaplatíš u oboch operátorov rovnako?

Neznáma: $x$ … počet prevolaných minút za mesiac.
Cena u A: $10 + 0{,}05x$ . Cena u B: $4 + 0{,}08x$ .
Rovnica: $10 + 0{,}05x = 4 + 0{,}08x$
$6 = 0{,}03x$ , teda $x = 200$

Skúška v texte: A: $10 + 0{,}05\cdot 200 = 20$ €. B: $4 + 0{,}08\cdot 200 = 20$ €. Sedí.

Odpoveď: Pri 200 minútach platíš rovnako. Ak voláš menej, oplatí sa B, ak viac, oplatí sa A.

Úlohy o pohybe

Základ je $s = v\cdot t$ . Pomôže tabuľka: pre každého účastníka riadok s rýchlosťou, časom a dráhou. Rovnicu dá to, čo majú spoločné.

Idú oproti sebe: dráhy sa sčítajú na celú vzdialenosť, $s_1 + s_2 = s$ .
Jeden dobieha druhého: v mieste stretnutia majú rovnakú dráhu, $s_1 = s_2$ .

Príklad 2: Mestá sú vzdialené 120 km. Z jedného vyrazí cyklista rýchlosťou 20 km/h, z druhého v tom istom čase auto rýchlosťou 60 km/h. Za aký čas sa stretnú?

Neznáma: $t$ … čas do stretnutia v hodinách (obaja idú rovnako dlho).
Dráha cyklistu $20t$ , dráha auta $60t$ .
Rovnica: $20t + 60t = 120$
$80t = 120$ , teda $t = 1{,}5\,\mathrm{h}$

Skúška v texte: cyklista prejde $20\cdot 1{,}5 = 30\,\mathrm{km}$ , auto $60\cdot 1{,}5 = 90\,\mathrm{km}$ , spolu $120\,\mathrm{km}$ .

Odpoveď: Stretnú sa za 1,5 hodiny, 30 km od mesta, z ktorého vyšiel cyklista.

Dve neznáme, dve rovnice

Ak sa úloha pýta na dve veci, označ dve neznáme a hľadaj v texte dve informácie — každá dá jednu rovnicu.

Príklad 3: Do kina išlo 12 ľudí. Študentský lístok stál 5 €, lístok pre dospelého 8 €. Spolu zaplatili 72 €. Koľko bolo študentov a koľko dospelých?

Neznáme: $s$ … počet študentov, $d$ … počet dospelých.
Počet ľudí: $s + d = 12$ . Cena: $5s + 8d = 72$ .
Z prvej $s = 12 - d$ , dosaď: $5(12 - d) + 8d = 72$
$60 + 3d = 72$ , teda $d = 4$ a $s = 8$

Skúška v texte: $8 + 4 = 12$ ľudí, $8\cdot 5 + 4\cdot 8 = 40 + 32 = 72$ €.

Odpoveď: V kine bolo 8 študentov a 4 dospelí.

Skúška patrí do textu

Skúška do vlastnej rovnice nestačí. Ak si rovnicu zostavil zle, dosadenie do nej vyjde správne — a výsledok je aj tak nesprávny. Preto výsledok vždy over v pôvodnom texte. A zamysli sa, či dáva zmysel: počet ľudí nemôže byť $4{,}5$ ani $-2$ , čas nemôže byť záporný. Ak niečo také vyjde, hľadaj chybu v rovnici, nezaokrúhľuj.

Stráž si jednotky. Ak je rýchlosť v km/h, čas musí byť v hodinách: 20 minút je $\dfrac13\,\mathrm{h}$ , 30 minút je $0{,}5\,\mathrm{h}$ . Rovnaký návyk potrebuješ vo fyzike aj v elektrotechnike — miešanie minút s hodinami je najčastejší dôvod nezmyselného výsledku.

Otec má 40 rokov, syn 10. O koľko rokov bude otec trikrát starší ako syn?

Ukáž riešenie

Neznáma: $x$ … počet rokov. Vtedy bude mať otec $40 + x$ a syn $10 + x$ rokov.

Rovnica: $40 + x = 3(10 + x)$ , teda $40 + x = 30 + 3x$ , $10 = 2x$ a $x = 5$ .

Skúška v texte: o 5 rokov má otec 45 a syn 15 rokov, $45 = 3\cdot 15$ . Odpoveď: o 5 rokov.

Hra: priraď ku každej vete rovnicu, ktorá ju zapisuje — číslo označ $x$ .

Zapamätaj si

Postup: čo hľadám, označenie neznámej, rovnica, riešenie, skúška v texte, odpoveď.
Rovnicu zostavíš tak, že tú istú veličinu vyjadríš dvoma spôsobmi.
Pohyb: $s = v\cdot t$ ; oproti sebe $s_1 + s_2 = s$ , pri dobiehaní $s_1 = s_2$ .
Dve neznáme potrebujú dve rovnice — sústavu.
Skúšku rob v texte úlohy a over, či má výsledok zmysel (jednotky, kladné a celé čísla tam, kde treba).

Slovné úlohy: od textu k rovnici

Päť krokov

Úlohy o pohybe

Dve neznáme, dve rovnice

Skúška patrí do textu

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí