Sústava dvoch lineárnych rovníc

V bufete si kamoš kúpil 2 hot-dogy a 1 limonádu za 7 €. Ty si zobral 1 hot-dog a 2 limonády a platil si 5 €. Cenník nikde. Koľko stojí hot-dog a koľko limonáda? Z jedného bločka to nezistíš — z dvoch áno.

Čo je sústava

Označ cenu hot-dogu $h$ a limonády $l$ . Bločky dajú dve rovnice, ktoré musia platiť naraz:

\begin{aligned} 2h + l &= 7 \\ h + 2l &= 5 \end{aligned}

To je sústava dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi. Jej riešením nie je jedno číslo, ale usporiadaná dvojica čísel, ktorá vyhovuje obom rovniciam. Pri neznámych $x$ , $y$ ju píšeme $[x;\, y]$ .

Stratégia je vždy rovnaká: zbav sa jednej neznámej, aby zostala obyčajná rovnica s jednou neznámou.

Dosadzovacia metóda

Z jednej rovnice vyjadri jednu neznámu a dosaď ju do druhej. Hodí sa, keď má niektorá neznáma koeficient 1.

Príklad 1 (bufet): $2h + l = 7$ , $h + 2l = 5$ .

Z prvej rovnice vyjadri $l$ : $l = 7 - 2h$
Dosaď do druhej: $h + 2(7 - 2h) = 5$
Roznásob: $h + 14 - 4h = 5$ , teda $-3h = -9$ a $h = 3$
Dopočítaj druhú neznámu: $l = 7 - 2\cdot 3$ , teda $l = 1$

Skúška (obe rovnice): $2\cdot 3 + 1 = 7$ a $3 + 2\cdot 1 = 5$ . Sedí. Hot-dog stojí 3 €, limonáda 1 €.

Sčítacia metóda

Rovnice vynásob tak, aby pri jednej neznámej vznikli opačné koeficienty (napríklad $3y$ a $-3y$ ). Potom rovnice sčítaj — neznáma zmizne.

Príklad 2: $2x + 3y = 7$ , $3x - y = 5$ .

Druhú rovnicu vynásob 3: $9x - 3y = 15$
Sčítaj s prvou: $(2x + 9x) + (3y - 3y) = 7 + 15$ , teda $11x = 22$ a $x = 2$
Dosaď do niektorej pôvodnej rovnice: $3\cdot 2 - y = 5$ , teda $y = 1$

Skúška: prvá rovnica $2\cdot 2 + 3\cdot 1 = 7$ , druhá $3\cdot 2 - 1 = 5$ . Riešenie: $[x;\, y] = [2;\, 1]$ , zapisujeme $K = \{[2;\, 1]\}$ .

Tri klasické chyby. Prvá: vypočítaš $x$ a skončíš — riešením je dvojica, $y$ treba dopočítať. Druhá: pri násobení rovnice zabudneš vynásobiť pravú stranu ( $9x - 3y = 5$ namiesto $15$ ). Tretia: skúšku urobíš len do jednej rovnice. Dvojica $[1;\, 2]$ spĺňa $x + y = 3$ , ale nie $2x - y = 1$ .

Čo to znamená na grafe

Grafom každej lineárnej rovnice s dvoma neznámymi je priamka. Riešenie sústavy je bod, ktorý leží na oboch — ich priesečník. Sústava $y = 2x - 1$ , $y = -x + 5$ : porovnaj pravé strany, $2x - 1 = -x + 5$ , teda $3x = 6$ , $x = 2$ a $y = 3$ . Priamky sa pretnú v bode $[2;\, 3]$ .

Koľko riešení má sústava

Priamky	Pri počítaní zostane	Počet riešení
pretínajú sa	konkrétne $x$ a $y$	práve jedno
rovnobežné rôzne	nepravda, napr. $0 = 2$	žiadne
totožné	pravda, napr. $0 = 0$	nekonečne veľa

$x + y = 3$ , $x + y = 5$ : po odčítaní rovníc $0 = 2$ . Súčet dvoch čísel nemôže byť naraz 3 aj 5 — žiadne riešenie.
$x + y = 3$ , $2x + 2y = 6$ : druhá rovnica je dvojnásobok prvej, po úprave $0 = 0$ . Riešením je každá dvojica s $y = 3 - x$ .

Ktorú metódu zvoliť? Ak je niekde samotné $x$ alebo $y$ (koeficient 1), dosadzuj. Ak sú koeficienty „škaredé“ (napríklad $2x + 3y$ a $3x + 2y$ ), sčítacia metóda ťa ušetrí zlomkov. V elektrotechnike na sústavy narazíš pri obvodoch s viacerými prúdmi — rovnice zostavíš pre uzly a slučky obvodu.

a) $x + y = 10$ , $x - y = 4$ b) $y = 3x - 2$ , $2x + y = 8$

Ukáž riešenie

a) Sčítaj rovnice: $2x = 14$ , teda $x = 7$ . Z prvej $y = 10 - 7 = 3$ . Skúška: $7 + 3 = 10$ , $7 - 3 = 4$ . Riešenie $[7;\, 3]$ .

b) Dosaď $y$ do druhej: $2x + 3x - 2 = 8$ , teda $5x = 10$ , $x = 2$ a $y = 3\cdot 2 - 2 = 4$ . Skúška: $4 = 6 - 2$ , $4 + 4 = 8$ . Riešenie $[2;\, 4]$ .

Hra: priraď sústavu k jej riešeniu — dve z nich sa líšia len jedným znamienkom.

Zapamätaj si

Riešením sústavy je dvojica $[x;\, y]$ , ktorá vyhovuje obom rovniciam naraz.
Dosadzovacia metóda: vyjadri jednu neznámu a dosaď ju do druhej rovnice.
Sčítacia metóda: vynásob rovnice na opačné koeficienty a sčítaj ich.
Skúšku rob do oboch pôvodných rovníc.
Graficky: priesečník = jedno riešenie, rovnobežné rôzne priamky = žiadne, totožné priamky = nekonečne veľa.

Sústava dvoch lineárnych rovníc

Čo je sústava

Dosadzovacia metóda

Sčítacia metóda

Čo to znamená na grafe

Koľko riešení má sústava

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí