Lineárne nerovnice a zápis riešenia intervalom

V hre máš 120 mincí a každý deň z nich s tímom miniete 15. Na záverečný turnaj potrebuješ, aby ti zostalo aspoň 30. Koľko dní môžeš míňať? „Aspoň“ znamená, že nehľadáš jedno číslo, ale všetky, ktoré vyhovujú: $120 - 15d \ge 30$ . To je nerovnica.

Nerovnica a jej riešenie

Nerovnica vyzerá ako rovnica, len namiesto $=$ má jeden zo znakov:

Znak	Čítaj	Hraničné číslo
$x < a$	menšie ako	nepatrí
$x > a$	väčšie ako	nepatrí
$x \le a$	menšie alebo rovné (najviac)	patrí
$x \ge a$	väčšie alebo rovné (aspoň)	patrí

Riešením býva nekonečne veľa čísel — celý úsek číselnej osi. Zapisujeme ho intervalom.

Úpravy: ako pri rovnici, s jednou výnimkou

Pripočítať alebo odpočítať to isté smieš bez obáv. Násobiť a deliť kladným číslom tiež. Ale:

Pri násobení alebo delení záporným číslom sa znak nerovnosti otáča.

Prečo? Platí $2 < 5$ . Vynásob obe strany číslom $-1$ : dostaneš $-2$ a $-5$ . Na osi je $-2$ napravo od $-5$ , teda $-2 > -5$ . Poradie sa prevrátilo.

Príklad 1: Vyrieš $3x - 5 < 7$ .

Pripočítaj 5: $3x < 12$
Vydeľ 3 (kladné číslo, znak zostáva): $x < 4$
Zápis: $x \in (-\infty;\, 4)$

Skúška: číslo z intervalu, $x = 0$ : $3\cdot 0 - 5 = -5 < 7$ , platí. Hranica $x = 4$ : $7 < 7$ neplatí, preto je zátvorka okrúhla. Číslo mimo, $x = 5$ : $10 < 7$ neplatí.

Príklad 2: Vyrieš $5 - 2x \le 11$ .

Odpočítaj 5: $-2x \le 6$
Vydeľ $-2$ — záporné číslo, znak sa otáča: $x \ge -3$
Zápis: $x \in \langle -3;\, \infty)$

Skúška: $x = 0$ : $5 - 0 = 5 \le 11$ , platí. Hranica $x = -3$ : $5 + 6 = 11 \le 11$ , platí, preto je zátvorka lomená. Číslo mimo, $x = -4$ : $5 + 8 = 13 \le 11$ neplatí.

Najčastejšia chyba celej témy: vydeliť záporným číslom a znak nechať. Z $-2x \le 6$ by vyšlo $x \le -3$ — skús $x = -10$ : $5 + 20 = 25 \le 11$ neplatí. Skúška jedným číslom z intervalu túto chybu odhalí okamžite.

Zápis intervalom

Nerovnosť	Interval	Na osi
$x > a$	$(a;\, \infty)$	prázdny krúžok, doprava
$x \ge a$	$\langle a;\, \infty)$	plný krúžok, doprava
$x < b$	$(-\infty;\, b)$	prázdny krúžok, doľava
$x \le b$	$(-\infty;\, b\rangle$	plný krúžok, doľava
$a < x \le b$	$(a;\, b\rangle$	úsek medzi $a$ a $b$

Okrúhla zátvorka = hranica nepatrí, lomená = patrí. Pri nekonečne je zátvorka vždy okrúhla.

Mince z úvodu: $120 - 15d \ge 30$ , odpočítaj 120: $-15d \ge -90$ , vydeľ $-15$ a otoč znak: $d \le 6$ . Míňať môžeš najviac 6 dní. Skúška: po 6 dňoch zostane $120 - 90 = 30$ mincí, po 7 dňoch len 15.

Keď neznáma vypadne

$2x + 1 > 2x + 5$ : po odpočítaní $2x$ zostane $1 > 5$ . Neplatí nikdy, $K = \emptyset$ .
$2x + 1 < 2x + 5$ : zostane $1 < 5$ . Platí vždy, $K = \mathbb{R}$ , teda $x \in (-\infty;\, \infty)$ .

Ako sa otáčaniu vyhnúť: prenes členy s $x$ na tú stranu, kde vyjde kladný koeficient. Z $5 - 2x \le 11$ pripočítaj $2x$ a odpočítaj 11: $-6 \le 2x$ , vydeľ dvojkou: $-3 \le x$ . To isté ako $x \ge -3$ — a nič si neotáčal.

Vyrieš $4(x - 1) > 6x + 2$ a zapíš riešenie intervalom.

Ukáž riešenie

$4x - 4 > 6x + 2$ . Odpočítaj $6x$ , pripočítaj 4: $-2x > 6$ . Vydeľ $-2$ a otoč znak: $x < -3$ , teda $x \in (-\infty;\, -3)$ .

Skúška: $x = -4$ : $L = 4\cdot(-5) = -20$ , $P = -24 + 2 = -22$ a $-20 > -22$ platí. Pre $x = 0$ : $-4 > 2$ neplatí.

Hra: priraď nerovnicu k intervalu riešení — pri delení záporným číslom otoč znak.

Zapamätaj si

Nerovnicu upravuješ ako rovnicu; riešením je obvykle interval.
Pri násobení alebo delení záporným číslom sa znak nerovnosti otáča.
$x > a$ je $(a;\, \infty)$ , $x \ge a$ je $\langle a;\, \infty)$ , $x < b$ je $(-\infty;\, b)$ , $x \le b$ je $(-\infty;\, b\rangle$ .
Skúška: jedno číslo z intervalu, hranica a jedno číslo mimo.
Ak neznáma vypadne: nepravdivá nerovnosť dá $K = \emptyset$ , pravdivá $K = \mathbb{R}$ .

Lineárne nerovnice a zápis riešenia intervalom

Nerovnica a jej riešenie

Úpravy: ako pri rovnici, s jednou výnimkou

Zápis intervalom

Keď neznáma vypadne

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí