Lomené výrazy: podmienky, krátenie, počítanie

S partiou si objednáte pizze za 24 € a účet delíte rovným dielom. Ak vás je $n$ , každý platí $\dfrac{24}{n}$ eur. Ak dvaja prídu neskôr, je to $\dfrac{24}{n + 2}$ . Zlomok s premennou v menovateli sa volá lomený výraz — a platia preň rovnaké pravidlá ako pre zlomky zo ZŠ, s jedným dôležitým dodatkom.

Podmienky: menovateľ nesmie byť nula

Nulou sa deliť nedá. Preto ku každému lomenému výrazu patria podmienky — hodnoty premennej, pre ktoré by bol menovateľ nulový, musíš vylúčiť. Pre $\dfrac{24}{n}$ je to $n \ne 0$ .

Príklad 1: Urč podmienky výrazu $\dfrac{x + 1}{x^2 - 9}$ .

Menovateľ nesmie byť nula: $x^2 - 9 \ne 0$
Rozlož na súčin: $(x - 3)(x + 3) \ne 0$
Súčin je nulový, keď je nulový niektorý činiteľ. Preto $x \ne 3$ a $x \ne -3$ .

Krátenie

Zlomok $\dfrac{6}{9}$ krátiš tromi, lebo $6 = 2 \cdot 3$ a $9 = 3 \cdot 3$ . Pri lomených výrazoch rovnako: čitateľa aj menovateľa najprv rozlož na súčin, potom skráť spoločný činiteľ.

Príklad 2: Skráť $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 2x}$ .

Rozklad: $\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x(x + 2)}$
Podmienky z pôvodného menovateľa: $x \ne 0$ , $x \ne -2$
Skráť spoločný činiteľ $(x + 2)$ : $\dfrac{x - 2}{x}$ , pričom $x \ne 0$ , $x \ne -2$

Krátiť sa dajú len činitele, nikdy sčítance. $\dfrac{x + 5}{x}$ sa nerovná $5$ a $\dfrac{x + 2}{x + 5}$ sa nerovná $\dfrac{2}{5}$ . Over číslom: pre $x = 1$ je $\dfrac{1 + 5}{1} = 6$ , nie 5. A podmienky urč vždy z pôvodného výrazu — po krátení by sa $x \ne -2$ stratilo.

Násobenie a delenie

Ako pri zlomkoch: čitateľ krát čitateľ, menovateľ krát menovateľ. Deliť znamená násobiť prevrátenou hodnotou. Pred násobením rozlož a skráť.

\frac{x^2 - 1}{6x} : \frac{x + 1}{3x^2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{6x} \cdot \frac{3x^2}{x + 1} = \frac{x(x - 1)}{2}

Podmienky: $x \ne 0$ a $x \ne -1$ . Pri delení nesmie byť nulový ani čitateľ deliteľa, lebo po prevrátení sa ocitne v menovateli.

Sčítanie a odčítanie

Potrebuješ spoločného menovateľa. Každý zlomok rozšír tým, čo jeho menovateľovi chýba, potom sčítaj čitatele.

Príklad 3: Vypočítaj $\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x + 1}$ .

Podmienky: $x \ne 0$ , $x \ne -1$
Spoločný menovateľ: $x(x + 1)$
Rozšír: $\dfrac{2(x + 1)}{x(x + 1)} + \dfrac{3x}{x(x + 1)}$
Sčítaj čitatele: $\dfrac{2x + 2 + 3x}{x(x + 1)} =$ $\dfrac{5x + 2}{x(x + 1)}$

Pri odčítaní daj čitateľa druhého zlomku do zátvorky — mínus platí pre všetky jeho členy.

Opačné zátvorky: $3 - x = -(x - 3)$ . Preto $\dfrac{x - 3}{3 - x} = -1$ pre $x \ne 3$ . Keď sa ti dve zátvorky líšia len poradím odčítania, vyjmi z jednej $-1$ a môžeš krátiť.

Urč podmienky a uprav.

a) $\dfrac{3x - 6}{x^2 - 4}$ b) $\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 2}$

Ukáž riešenie

a) $\dfrac{3(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} =$ $\dfrac{3}{x + 2}$ , podmienky $x \ne 2$ , $x \ne -2$

b) $\dfrac{(x + 2) - x}{x(x + 2)} =$ $\dfrac{2}{x(x + 2)}$ , podmienky $x \ne 0$ , $x \ne -2$

Hra: priraď ku každému lomenému výrazu jeho podmienky — menovateľ najprv rozlož.

Zapamätaj si

Podmienky: menovateľ sa nesmie rovnať nule (pri delení ani čitateľ deliteľa); urči ich z pôvodného výrazu ešte pred krátením.
Krátenie: najprv rozklad na súčin, potom skráť spoločný činiteľ — sčítance sa nekrátia.
Násobenie: $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ ; delenie = násobenie prevrátenou hodnotou.
Sčítanie: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}$ — najprv spoločný menovateľ.

Lomené výrazy: podmienky, krátenie, počítanie

Podmienky: menovateľ nesmie byť nula

Krátenie

Násobenie a delenie

Sčítanie a odčítanie

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí