Rozklad na súčin: vynímanie a vzorce

Poskladať stavebnicu podľa návodu je jedna vec. Dostať hotový model a zistiť, z akých dielov je, je vec druhá — a presne to je rozklad na súčin. Roznásobiť $(x - 2)(x + 2)$ už vieš. Teraz dostaneš $x^2 - 4$ a máš nájsť zátvorky. Bez tejto zručnosti sa nedajú krátiť lomené výrazy ani riešiť kvadratické rovnice.

Vynímanie pred zátvorku

Rozložiť na súčin znamená zapísať mnohočlen ako násobenie. Najjednoduchší spôsob je vynímanie pred zátvorku — opak roznásobenia:

ab + ac = a(b + c)

Hľadáš spoločný činiteľ všetkých členov: najväčšie číslo, ktorým sa dajú deliť všetky koeficienty, a každú spoločnú premennú s najnižším exponentom. V zátvorke zostane to, čo dostaneš po vydelení každého člena.

Príklad 1: Rozlož $6x^3 - 9x^2 + 12x$ .

Koeficienty 6, 9, 12 majú najväčšieho spoločného deliteľa 3.
Premenná $x$ je v každom člene, najnižší exponent je 1 → vynímam $3x$ .
Delím: $6x^3 : 3x = 2x^2$ , $\;-9x^2 : 3x = -3x$ , $\;12x : 3x = 4$
Výsledok: $3x(2x^2 - 3x + 4)$

Keď vyjmeš celý člen, zostane po ňom 1, nie nič. $x^2 + x = x(x + 1)$ , nie $x(x)$ . Skontroluj počet členov: koľko ich bolo pred vynímaním, toľko musí byť v zátvorke.

Rozklad podľa vzorcov

Vzorce z minulej lekcie čítaj sprava doľava:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Dva členy, oba štvorce a medzi nimi mínus → rozdiel štvorcov: $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x - 5)(2x + 5)$ .

Tri členy, krajné sú štvorce → over prostredný člen: $x^2 - 10x + 25$ má $a = x$ , $b = 5$ a $2ab = 10x$ sedí, teda $(x - 5)^2$ .

Súčet štvorcov $a^2 + b^2$ sa v reálnych číslach na súčin rozložiť nedá.

Kombinácia: najprv vynímaj

Pri úplnom rozklade vždy najprv vyjmi, čo sa dá, až potom hľadaj vzorec.

Príklad 2: Rozlož úplne $3x^3 - 12x$ .

Spoločný činiteľ je $3x$ : $3x(x^2 - 4)$
V zátvorke je rozdiel štvorcov $x^2 - 2^2$ .
Výsledok: $3x(x - 2)(x + 2)$

Postupné vynímanie

Pri štyroch členoch bez spoločného činiteľa pomôže vynímať po dvojiciach:

x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = x^2(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x^2 + 3)

Z prvej dvojice vyjmeš $x^2$ , z druhej $3$ . Ak v oboch zostane rovnaká zátvorka, vyjmeš ju ako celok. Ak rovnaká nevyjde, skús členy zoskupiť inak.

Rozklad sa dá vždy skontrolovať. Roznásob svoj výsledok — musíš dostať pôvodný mnohočlen. Trvá to pár sekúnd a na písomke ťa to zachráni.

Rozlož na súčin.

a) $8a^2b - 12ab^2$ b) $9x^2 - 1$ c) $x^2 + 14x + 49$ d) $2x^2 - 18$

Ukáž riešenie

a) $4ab(2a - 3b)$ b) $(3x)^2 - 1^2 =$ $(3x - 1)(3x + 1)$ c) $a = x$ , $b = 7$ , $2ab = 14x$ sedí: $(x + 7)^2$ d) Najprv vynímanie: $2(x^2 - 9) =$ $2(x - 3)(x + 3)$

Hra: priraď mnohočlen k jeho rozkladu na súčin — ak váhaš, roznásob.

Zapamätaj si

Rozklad na súčin je opak roznásobenia; výsledok vždy over roznásobením.
Vynímanie: $ab + ac = a(b + c)$ — spoločný činiteľ von, v zátvorke zostane rovnaký počet členov.
Vzorce odzadu: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ , $\;a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$ .
Poradie: najprv vynímaj, potom hľadaj vzorec: $3x^3 - 12x = 3x(x - 2)(x + 2)$ .
Súčet štvorcov $a^2 + b^2$ sa podľa vzorcov rozložiť nedá — vyňať sa dá len spoločný činiteľ: $2x^2 + 18 = 2(x^2 + 9)$ .

Rozklad na súčin: vynímanie a vzorce

Vynímanie pred zátvorku

Rozklad podľa vzorcov

Kombinácia: najprv vynímaj

Postupné vynímanie

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí