Vzorce (a ± b)² a a² − b²

Koľko je $99 \cdot 101$ ? Kto pozná jeden vzorec, povie do troch sekúnd: 9 999. A $51^2$ ? 2 601, tiež spamäti. Žiadny trik — len tri vzorce, ktoré sa v matematike aj vo fyzike vracajú stále dookola. Oplatí sa ich vedieť naspamäť.

Druhá mocnina súčtu

$(a + b)^2$ znamená $(a + b)(a + b)$ . Roznásob každý s každým:

(a + b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

Slovom: prvý na druhú, plus dvakrát prvý krát druhý, plus druhý na druhú.

Predstav si štvorec so stranou $a + b$ . Skladá sa zo štvorca $a^2$ , štvorca $b^2$ a dvoch obdĺžnikov $a \cdot b$ . Tie dva obdĺžniky sú člen $2ab$ , na ktorý sa najčastejšie zabúda.

Príklad 1: Umocni $(2x + 3)^2$ .

Urč, čo je $a$ a čo $b$ : $a = 2x$ , $b = 3$
$a^2 = (2x)^2 = 4x^2$
$2ab = 2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x$
$b^2 = 3^2 = 9$
Výsledok: $4x^2 + 12x + 9$

$(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ . Skús čísla: $(2 + 3)^2 = 25$ , ale $2^2 + 3^2 = 13$ . Chýba práve $2ab = 12$ . Druhá častá chyba: $(2x)^2$ je $4x^2$ , nie $2x^2$ — umocňuje sa aj koeficient.

Druhá mocnina rozdielu

Rovnakým roznásobením dostaneš:

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Mení sa len znamienko pri prostrednom člene. Posledný člen je vždy plus, lebo $(-b) \cdot (-b) = +b^2$ .

Príklad 2: Umocni $(3x - 5)^2$ .

$a = 3x$ , $b = 5$
$a^2 = 9x^2$ , $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x$ , $b^2 = 25$
Výsledok: $9x^2 - 30x + 25$

Rozdiel štvorcov

Keď násobíš súčet a rozdiel tých istých dvoch členov, prostredné členy sa zrušia:

(a - b)(a + b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2

Napríklad $(4x - 7)(4x + 7) = (4x)^2 - 7^2 = 16x^2 - 49$ . Žiadny prostredný člen, len dva štvorce a medzi nimi mínus.

Vzorce pri počítaní spamäti

Vzorce fungujú aj na obyčajných číslach:

$51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601$
$99 \cdot 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 10\,000 - 1 = 9999$

Za $a$ a $b$ môžeš dosadiť čokoľvek — číslo, jednočlen, aj celý výraz. Vždy si najprv napíš, čo je $a$ a čo $b$ , a zložitejšie členy daj do zátvorky: $(5 - 2y)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2y + (2y)^2 = 25 - 20y + 4y^2$ .

a) $(x + 6)^2$ b) $(3a + b)(3a - b)$ c) Spamäti: $49^2$

Ukáž riešenie

a) $x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 36 =$ $x^2 + 12x + 36$ b) $(3a)^2 - b^2 =$ $9a^2 - b^2$ c) $(50 - 1)^2 = 2500 - 100 + 1 =$ $2401$

Hra: priraď ku každému výrazu jeho tvar podľa vzorca — nezabudni na dvojnásobný súčin.

Zapamätaj si

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — posledný člen je vždy plus.
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ — prostredné členy sa zrušia.
Nikdy nezabudni na dvojnásobný súčin $2ab$ : $(a + b)^2$ nie je $a^2 + b^2$ .
Umocňuje sa celý člen aj s koeficientom: $(2x)^2 = 4x^2$ .

Vzorce (a ± b)² a a² − b²

Druhá mocnina súčtu

Druhá mocnina rozdielu

Rozdiel štvorcov

Vzorce pri počítaní spamäti

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí