Výraz, hodnota výrazu, mnohočlen

Na brigáde dostaneš 6 € za hodinu a k tomu 10 € jednorazovo na cestu. Koľko zarobíš za 4 hodiny? A za 7? Namiesto počítania zakaždým odznova stačí jeden zápis: $6h + 10$ . Takémuto zápisu hovoríme výraz a celý tento celok je o tom, ako s výrazmi počítať.

Výraz a premenná

Výraz je zápis zložený z čísel, písmen a počtových operácií, ktorý dáva zmysel: $6h + 10$ , $2x^2 - 3x + 5$ , $a \cdot b$ .

Písmeno vo výraze je premenná — zastupuje číslo, ktoré ešte nepoznáš alebo ktoré sa mení. Zo ZŠ poznáš dohodu: znak násobenia medzi číslom a písmenom sa nepíše, takže $6h$ znamená $6 \cdot h$ .

Výraz nie je rovnica. Nemá znamienko „=“ a nič sa v ňom nerieši — výraz sa upravuje alebo sa počíta jeho hodnota.

Hodnota výrazu

Keď za premennú dosadíš konkrétne číslo a vypočítaš, dostaneš hodnotu výrazu. Pre brigádu a $h = 4$ :

6 \cdot 4 + 10 = 34

Za 4 hodiny teda zarobíš 34 €. Poradie operácií je rovnaké ako pri číslach: najprv mocniny, potom násobenie a delenie, nakoniec sčítanie a odčítanie.

Príklad 1: Vypočítaj hodnotu výrazu $2x^2 - 3x + 5$ pre $x = -2$ .

Dosaď — záporné číslo vždy do zátvorky: $2 \cdot (-2)^2 - 3 \cdot (-2) + 5$
Mocnina: $(-2)^2 = 4$ , teda $2 \cdot 4 - 3 \cdot (-2) + 5$
Násobenie: $8 + 6 + 5$
Sčítanie: $19$

$-x^2$ nie je to isté ako $(-x)^2$ . Pre $x = 3$ je $-x^2 = -9$ , lebo mocnina má prednosť pred znamienkom mínus. Naopak $(-3)^2 = 9$ . Preto záporné číslo dosadzuj vždy so zátvorkou — pre $x = -4$ je $-x^2 = -(-4)^2 = -16$ , nie 16.

Jednočlen a mnohočlen

Jednočlen je súčin čísla a premenných s prirodzenými exponentmi: $5x$ , $-3x^2$ , $7ab$ , ale aj samotné číslo $8$ . Číslo v jednočlene sa volá koeficient.

Mnohočlen je súčet jednočlenov. Jednotlivé sčítance sú jeho členy. Mnohočlen $2x^2 - 3x + 5$ má tri členy: $2x^2$ , $-3x$ a $5$ — znamienko patrí k členu. Podľa počtu členov hovoríme dvojčlen ( $x + 1$ ), trojčlen ( $x^2 - 3x + 5$ ).

Člen bez premennej (tu $5$ ) je absolútny člen.

Výraz s premennou v menovateli, napríklad $\dfrac{3}{x}$ , mnohočlen nie je — k takým sa dostaneme v poslednej lekcii.

Koeficient 1 sa nepíše: $x^2$ znamená $1 \cdot x^2$ a $-x$ znamená $-1 \cdot x$ . Keď sa teda pýtajú na koeficient člena $-x$ , odpoveď je $-1$ , nie „žiadny“.

Stupeň mnohočlena

Stupeň mnohočlena s jednou premennou je najvyšší exponent premennej. Mnohočlen $2x^2 - 3x + 5$ má stupeň 2, mnohočlen $x - 7$ má stupeň 1.

Mnohočlen zvyčajne píšeme usporiadaný — od najvyššej mocniny po najnižšiu.

Príklad 2: Usporiadaj mnohočlen $4x^3 - x + 7 - 2x^2$ a urč jeho členy, koeficienty a stupeň.

Usporiadanie podľa mocnín: $4x^3 - 2x^2 - x + 7$
Členy: $4x^3$ , $-2x^2$ , $-x$ , $7$ (štyri členy)
Koeficienty: $4$ , $-2$ , $-1$ ; absolútny člen je $7$
Najvyšší exponent je 3, takže stupeň je 3

a) Vypočítaj hodnotu výrazu $x^2 - 4x - 1$ pre $x = -3$ . b) Aký stupeň má mnohočlen $5 - 2x^4 + x$ ? c) Vypočítaj hodnotu výrazu $3a - 2b$ pre $a = 2$ , $b = -5$ .

Ukáž riešenie

a) $(-3)^2 - 4 \cdot (-3) - 1 = 9 + 12 - 1 =$ $20$ b) Najvyšší exponent je 4, stupeň je 4 (nezáleží na tom, že člen nie je napísaný prvý). c) $3 \cdot 2 - 2 \cdot (-5) = 6 + 10 =$ $16$

Hra: roztrieď mnohočleny podľa stupňa.

Zapamätaj si

Výraz obsahuje čísla, premenné a operácie; po dosadení čísla za premennú dostaneš hodnotu výrazu.
Záporné číslo dosadzuj v zátvorke: pre $x = -2$ je $x^2 = (-2)^2 = 4$ .
Mnohočlen je súčet jednočlenov (členov); znamienko patrí k členu, číslo v člene je koeficient.
Stupeň mnohočlena je najvyšší exponent premennej, napríklad $4x^3 - 2x^2 - x + 7$ má stupeň 3.

Výraz, hodnota výrazu, mnohočlen

Výraz a premenná

Hodnota výrazu

Jednočlen a mnohočlen

Stupeň mnohočlena

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí