Logaritmická funkcia; decibely a pH

Jeden reproduktor má pri tebe hladinu 80 dB. Pustíš k nemu druhý rovnaký. Bude to 160 dB? Nie — iba asi 83 dB. Decibely sú logaritmická stupnica a v tejto lekcii zistíš, prečo tak počíta aj zvukomer v mobile, aj elektrikár pri zosilňovači.

Logaritmická funkcia

Logaritmická funkcia so základom $a$ je

y = \log_a x,

a \gt 0,\ a \ne 1

Je to inverzná funkcia k exponenciálnej funkcii $y = a^x$ : čo jedna urobí, druhá vráti. Preto sú ich grafy súmerné podľa priamky $y = x$ — bod $[2;\ 4]$ na grafe $y = 2^x$ sa zmení na bod $[4;\ 2]$ na grafe $y = \log_2 x$ .

Graf y = log₂ x vznikne z grafu y = 2ˣ preklopením podľa priamky y = x. Body [0; 1], [1; 2], [2; 4] prejdú na [1; 0], [2; 1], [4; 2].

Vlastnosti

Definičný obor $D = (0;\ \infty)$ — logaritmovať sa dajú len kladné čísla.
Obor hodnôt $H = \mathbb{R}$ .
Graf prechádza bodom $[1;\ 0]$ , lebo $\log_a 1 = 0$ .
$a \gt 1$ : funkcia je rastúca; $0 \lt a \lt 1$ : funkcia je klesajúca.
Os $y$ je asymptota.
Pre $a \gt 1$ rastie veľmi pomaly: $\log x$ je 1 pre $x = 10$ , 2 pre $x = 100$ , 6 pre $x = 1\,000\,000$ .

Práve preto sa logaritmus hodí na veličiny, ktoré sa líšia milión- či miliardkrát: logaritmická stupnica ich stlačí do pár desiatok.

Pri $0 \lt x \lt 1$ je logaritmus záporný (pre $a \gt 1$ ): $\log_2 \frac{1}{8} = -3$ . Graf $y = \log_a x$ nikdy nepretne os $y$ — číslo $0$ v definičnom obore nie je.

Decibely

Ľudské ucho počuje zvuky s intenzitou od asi $10^{-12}\,\mathrm{W/m^2}$ (prah počutia $I_0$ ) až po intenzity biliónkrát väčšie. Hladina intenzity zvuku v decibeloch:

L = 10 \cdot \log \frac{I}{I_0}\ \mathrm{dB},

I_0 = 10^{-12}\,\mathrm{W/m^2}

Pre $I = 10^{-6}\,\mathrm{W/m^2}$ je $L = 10 \cdot \log 10^{6} = 60\,\mathrm{dB}$ — približne bežný rozhovor. Šepot má okolo 30 dB, hlasný koncert vyše 100 dB a okolo 120 dB je hranica bolesti.

+10 dB = intenzita 10× väčšia, +20 dB = 100× väčšia.
+3 dB ≈ intenzita 2× väčšia, lebo $10 \cdot \log 2 \approx 3{,}01$ .

Dva rovnaké reproduktory, každý 80 dB. Aká je spolu hladina?

Intenzity sa sčítajú: $I_{\text{spolu}} = 2I$ . (Platí pre zdroje, ktoré hrajú nezávisle; pri úplne rovnakom signáli sa vlny na niektorých miestach zosilnia, inde zoslabia.)
$L = 10 \log \dfrac{2I}{I_0} = 10 \log 2 + 10 \log \dfrac{I}{I_0} \approx 3 + 80$ .
$L \approx 83\,\mathrm{dB}$ , nie 160 dB.

Elektro: zosilnenie výkonu v decibeloch je $G = 10 \cdot \log \frac{P_2}{P_1}$ . Zosilňovač, ktorý z 0,5 W urobí 50 W, má zosilnenie $10 \log 100 = 20\,\mathrm{dB}$ . Útlm $-3\,\mathrm{dB}$ znamená, že ostane asi polovica výkonu. Pri napätí (na rovnakom odpore) sa používa $20 \cdot \log \frac{U_2}{U_1}$ , lebo výkon rastie s druhou mocninou napätia.

Priraď zmenu hladiny k tomu, koľkokrát sa zmenila intenzita:

pH

Kyslosť roztoku vyjadruje pH — záporný dekadický logaritmus koncentrácie oxóniových katiónov $\mathrm{H_3O^+}$ v $\mathrm{mol/dm^3}$ :

\mathrm{pH} = -\log c(\mathrm{H_3O^+})

Čistá voda pri 25 °C má pH 7, kyslé roztoky menej, zásadité viac. Roztok s $c = 10^{-3}\,\mathrm{mol/dm^3}$ má $\mathrm{pH} = 3$ . Pokles pH o 1 znamená 10× vyššiu koncentráciu: roztok s pH 3 má $10^{7-3} = 10\,000$ -krát vyššiu koncentráciu $\mathrm{H_3O^+}$ ako čistá voda.

a) Koľkokrát väčšiu intenzitu má zvuk 60 dB ako zvuk 30 dB?

b) Akú koncentráciu $\mathrm{H_3O^+}$ má roztok s pH 5?

c) Akú intenzitu má zvuk s hladinou 100 dB?

Ukáž riešenie

a) Rozdiel 30 dB = $10^{3}$ , teda 1 000-krát.

b) $c = 10^{-5}\,\mathrm{mol/dm^3}$ = 0,000 01 mol/dm³.

c) $100 = 10 \log \frac{I}{I_0}$ , takže $\frac{I}{I_0} = 10^{10}$ a $I = 10^{-12} \cdot 10^{10} = \mathbf{10^{-2}\,W/m^2} = 0{,}01\,\mathrm{W/m^2}$ .

Hra: chyť správnu hladinu alebo zosilnenie.

Zapamätaj si

$y = \log_a x$ je inverzná k $y = a^x$ ; grafy sú súmerné podľa priamky $y = x$ .
$D = (0;\ \infty)$ , $H = \mathbb{R}$ , graf ide cez $[1;\ 0]$ ; pre $a \gt 1$ rastie, pre $0 \lt a \lt 1$ klesá.
Hladina intenzity zvuku $L = 10 \log \frac{I}{I_0}$ dB, $I_0 = 10^{-12}\,\mathrm{W/m^2}$ ; +10 dB = 10× intenzita, +3 dB ≈ 2×.
$\mathrm{pH} = -\log c(\mathrm{H_3O^+})$ ; o 1 menšie pH = 10× vyššia koncentrácia.

Logaritmická funkcia; decibely a pH