Exponenciálne a logaritmické rovnice

Na účte máš úspory s úrokom 3 % ročne. Za koľko rokov sa zdvojnásobia? Treba vyriešiť rovnicu $1{,}03^n = 2$ — neznáma je v exponente. Takú rovnicu vyriešiš za pár sekúnd, keď poznáš tri triky.

Rovnaký základ

Exponenciálna funkcia je rastúca alebo klesajúca, takže každú hodnotu nadobudne len raz. Preto platí:

a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)

(a \gt 0,\ a \ne 1)

Postup: obe strany prepíš ako mocniny s rovnakým základom a porovnaj exponenty.

a) $2^{x+1} = 32$ : $2^{x+1} = 2^5$ , teda $x + 1 = 5$ , $x = 4$ .

b) $9^x = 27$ : $\left(3^2\right)^x = 3^3$ , teda $3^{2x} = 3^3$ , $2x = 3$ , $x = \frac{3}{2}$ .

c) $5^{x^2 - 3x} = \frac{1}{25}$ : $\frac{1}{25} = 5^{-2}$ , teda $x^2 - 3x = -2$ , $x^2 - 3x + 2 = 0$ , $(x - 1)(x - 2) = 0$ . $K = \lbrace 1;\ 2 \rbrace$ .

Rovnica $2^x = -8$ nemá riešenie. Hodnoty $a^x$ sú vždy kladné. Ak ti vyjde $a^x$ rovné zápornému číslu alebo nule, rovnica (alebo táto vetva) riešenie nemá.

Substitúcia a logaritmovanie

Substitúcia pomôže, keď sa v rovnici opakuje tá istá mocnina. V rovnici $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$ je $4^x = \left(2^x\right)^2$ . Zaveď $t = 2^x$ ( $t \gt 0$ ):

t^2 - 3t - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad t_1 = 4,\ t_2 = -1

$t_2 = -1$ vyraď ( $2^x$ nie je záporné). Z $2^x = 4$ je $x = 2$ .

Logaritmovanie použi, keď sa rovnaký základ nájsť nedá. Rovnica $3^x = 20$ : zlogaritmuj obe strany, $x \cdot \log 3 = \log 20$ , teda

x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73

Úspory z úvodu: $1{,}03^n = 2$ .

Zlogaritmuj: $n \cdot \log 1{,}03 = \log 2$ .
$n = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}03} \approx 23{,}45$ .
Úroky sa pripisujú raz ročne, takže úspory sa zdvojnásobia po 24 rokoch. Skúška: $1{,}03^{23} \approx 1{,}97$ , $1{,}03^{24} \approx 2{,}03$ .

Logaritmické rovnice

Najprv podmienky: všetko, čo je pod logaritmom, musí byť kladné. Potom rovnicu uprav podľa definície $\log_a A = y \iff A = a^y$ alebo pravidlami na tvar $\log_a A = \log_a B$ , z ktorého $A = B$ .

a) $\log_2 (x - 1) = 3$ . Podmienka $x \gt 1$ . Podľa definície $x - 1 = 2^3 = 8$ , $x = 9$ — podmienku spĺňa.

b) $\log x + \log (x - 3) = 1$ . Podmienky: $x \gt 0$ a $x \gt 3$ , spolu $x \gt 3$ .

Súčet logaritmov: $\log \big(x(x - 3)\big) = 1$ , teda $x(x - 3) = 10^1 = 10$ .
$x^2 - 3x - 10 = 0$ , $(x - 5)(x + 2) = 0$ , korene $5$ a $-2$ .
$-2$ podmienku nespĺňa. $K = \lbrace 5 \rbrace$ . Skúška: $\log 5 + \log 2 = \log 10 = 1$ ✓.

Bez podmienok si do výsledku pustíš falošný koreň. Úprava $\log A + \log B = \log (AB)$ rozšíri obor: $AB$ môže byť kladné, aj keď $A$ a $B$ sú obe záporné. Preto $x = -2$ vyšlo z kvadratickej rovnice, hoci $\log (-2)$ neexistuje. Podmienky alebo skúška sú pri logaritmických rovniciach povinné.

Kondenzátor: kedy sa nabije na 90 %? Z $1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} = 0{,}9$ je $\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} = 0{,}1$ , logaritmovaním $t = \tau \cdot \ln 10 \approx 2{,}3\,\tau$ . Pri $\tau = 1\,\mathrm{s}$ je to asi 2,3 s.

Roztrieď rovnice podľa toho, ktorý trik použiješ ako prvý:

Vyrieš a) $5^{2x-1} = 125$ , b) $\log (x + 6) = 2$ , c) $2^x = 10$ (na dve desatinné miesta), d) $\log_2 (x + 2) + \log_2 x = 3$ .

Ukáž riešenie

a) $5^{2x-1} = 5^3$ , $2x - 1 = 3$ , $x = 2$ .

b) Podmienka $x \gt -6$ . $x + 6 = 10^2 = 100$ , $x = 94$ .

c) $x = \dfrac{\log 10}{\log 2} = \dfrac{1}{\log 2} \approx \mathbf{3{,}32}$ .

d) Podmienka $x \gt 0$ . $\log_2 \big(x(x + 2)\big) = 3$ , $x^2 + 2x = 8$ , $x^2 + 2x - 8 = 0$ , korene $2$ a $-4$ . $K = \lbrace 2 \rbrace$ ( $-4$ podmienku nespĺňa).

Hra: chyť správny koreň.

Zapamätaj si

Rovnaký základ: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$ .
Opakuje sa mocnina (napr. $4^x$ a $2^x$ ) → substitúcia $t = 2^x$ , $t \gt 0$ .
Rovnaký základ nejde → logaritmuj: $a^x = b \Rightarrow x = \dfrac{\log b}{\log a}$ .
Pri logaritmickej rovnici najprv podmienky (výrazy pod logaritmom $\gt 0$ ), na konci skúška.