Grafy goniometrických funkcií: perióda a amplitúda

Napätie v zásuvke sa každú sekundu 50-krát otočí z plusu do mínusu a späť. Keby si ho nakreslil, dostaneš vlnu — sínusoidu. Rovnako vyzerá tón z reproduktora alebo pohyb pružiny. Z grafu vyčítaš dve najdôležitejšie čísla: ako vysoko vlna siaha (amplitúda) a ako často sa opakuje (perióda).

Graf sínusu a kosínusu

Hodnoty $\sin x$ a $\cos x$ z jednotkovej kružnice nanesieme na os $y$ a uhol $x$ (v radiánoch) na os $x$ .

Sínus začína v bode $[0;\ 0]$ a stúpa, kosínus začína na maxime $[0;\ 1]$ . Oba sa opakujú po $2\pi$ .

	$y = \sin x$	$y = \cos x$
definičný obor	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
obor hodnôt	$\langle -1;\ 1\rangle$	$\langle -1;\ 1\rangle$
perióda	$2\pi$	$2\pi$
nulové body	$x = k\pi$	$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
maximum 1 v	$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$	$x = 2k\pi$
minimum −1 v	$x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$	$x = \pi + 2k\pi$
súmernosť	nepárna (podľa začiatku)	párna (podľa osi $y$ )

Graf kosínusu je graf sínusu posunutý o $\frac{\pi}{2}$ doľava: $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ .

Graf tangensu

Tangens nie je definovaný pre $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ . Keď sa k týmto bodom blížiš, hodnoty rastú nad všetky medze (alebo klesajú pod ne), preto má graf v týchto miestach zvislé asymptoty — priamky, ku ktorým sa graf približuje, ale nikdy ich nepretne.

definičný obor: $\mathbb{R}$ okrem $\frac{\pi}{2} + k\pi$ , obor hodnôt: $\mathbb{R}$
perióda $\pi$ , nulové body $x = k\pi$
na každom intervale $\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi;\ \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$ je rastúca, je nepárna

Graf $y = \operatorname{tg} x$ na intervale $\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right)$ . Červené prerušované priamky sú asymptoty $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ; graf sa k nim približuje, ale nikdy ich nepretne. Na obrázku je len časť grafu s hodnotami od −3 do 3.

Tangens nemá maximum ani minimum, preto pri ňom o amplitúde nehovoríme.

Amplitúda a perióda

Pre funkciu $y = a \cdot \sin(bx)$ alebo $y = a \cdot \cos(bx)$ , kde $a \ne 0$ , $b \ne 0$ :

\text{amplitúda} = |a|

\text{perióda } T = \frac{2\pi}{|b|}

H = \langle -|a|;\ |a|\rangle

$a$ vlnu natiahne nahor a nadol (vyššia vlna),
$b$ vlnu zhustí ( $|b| \gt 1$ ) alebo roztiahne ( $|b| \lt 1$ ) do strán.

$y = 2\sin x$ má amplitúdu 2 a periódu $2\pi$ . $y = \sin 2x$ má amplitúdu 1 a periódu $\pi$ .

$\sin 2x$ nie je $2\sin x$ . Číslo pred funkciou mení výšku vlny, číslo pri $x$ mení jej šírku. Napríklad pre $x = \frac{\pi}{2}$ : $\sin 2x = \sin\pi = 0$ , ale $2\sin x = 2$ . A perióda sa delí číslom $b$ , nenásobí: $y = \sin 3x$ má periódu $\frac{2\pi}{3}$ , nie $6\pi$ .

Striedavé napätie v zásuvke

Napätie v sieti opisuje funkcia $u = U_m \cdot \sin(\omega t)$ , kde $U_m$ je amplitúda (maximálne napätie), $\omega = 2\pi f$ je uhlová frekvencia a $f$ frekvencia. Perióda je $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{1}{f}$ .

V sieti je $f = 50\,\mathrm{Hz}$ a efektívne napätie 230 V. Pri sínusovom priebehu je amplitúda $\sqrt2$ -krát väčšia než efektívna hodnota. Zapíš $u(t)$ a urči periódu.

$U_m = 230 \cdot \sqrt2 \approx 325\,\mathrm{V}$
$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 = 100\pi \approx 314\,\mathrm{rad/s}$
$T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{50}\,\mathrm{s} = 0{,}02\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{ms}$

$u = 325 \cdot \sin(100\pi t)\,\mathrm{V}$ , perióda 20 ms — za sekundu 50 celých vĺn.

Druhý príklad: ladička na ladenie gitary znie tónom 440 Hz. Perióda jej kmitov je $T = \frac{1}{440}\,\mathrm{s} \approx 2{,}27\,\mathrm{ms}$ — vlna je takmer 9-krát hustejšia ako v zásuvke.

Urči amplitúdu a periódu funkcií a) $y = 3\sin x$ , b) $y = \cos 4x$ , c) $y = -2\sin\frac{x}{2}$ . d) Akú hodnotu má $u = 325 \cdot \sin(100\pi t)$ v čase $t = 5\,\mathrm{ms}$ ?

Ukáž riešenie

a) amplitúda 3, perióda $2\pi$ . b) amplitúda 1, perióda $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ . c) amplitúda $|-2| = 2$ , perióda $\frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ (mínus vlnu len prevráti).

d) $100\pi \cdot 0{,}005 = \frac{\pi}{2}$ , $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ , teda $u = 325\,\mathrm{V}$ — maximum, štvrtina periódy.

Hra: priraď funkciu k jej amplitúde a perióde.

Hra: čo sem nepatrí?

Zapamätaj si

$y = \sin x$ a $y = \cos x$ : $D = \mathbb{R}$ , $H = \langle -1;\ 1\rangle$ , perióda $2\pi$ ; sínus je nepárny, kosínus párny.
$y = \operatorname{tg} x$ : perióda $\pi$ , $H = \mathbb{R}$ , asymptoty v $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ .
$y = a\sin(bx)$ : amplitúda $|a|$ , perióda $T = \frac{2\pi}{|b|}$ .
Striedavé napätie $u = U_m \sin(\omega t)$ , $\omega = 2\pi f$ , $T = \frac1f$ ; v sieti 325 V, 50 Hz, 20 ms.